第九章 多元函数微分学

第一节 多元函数的基本概念

一、多元函数的概念

设 DD 为二维平面 xOyxOy 上的非空集合，ff 为对应法则，若对任一 (x,y)∈D(x,y) \in D，按对应法则 ff 有唯一确定的函数值 zz 与之对应，则称 z=f(x,y)z = f(x,y) 为区域 DD 上的二元函数。

其中 x,yx, y 为自变量，zz 为因变量，区域 DD 为函数 z=f(x,yp)z = f(x,yp) 的定义域。

常见的二元函数：

  • z=x2+y2z = x^2 + y^2
  • z=3x−y+2z = 3x - y + 2

类似地，可定义三元函数 u=f(x,y,z),(x,y,z)∈Du = f(x,y,z), (x,y,z) \in D，或者更一般的 nn 元函数：

z=f(x1,x2,⋯ ,xn),(x1,x2,⋯ ,xn)∈Dz = f(x_1, x_2, \cdots, x_n), \quad (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D

二、二元函数的二重极限

点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的去心邻域的定义

设点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) 为 xOyxOy 平面内的点，对于 P0P_0 附近任一点 P(x,y)P(x, y)，两点间的距离 ρ=∣P0P∣=(x−x0)2+(y−y0)2\rho = |P_0P| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}。若 0<ρ<δ0 < \rho < \delta，则称满足该不等式的集合为点 P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) 的去心邻域（即将一维数轴拓展到二维平面）。

二重极限的定义

对于二元函数 z=f(x,y)z = f(x, y)，lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=A  ⟺  \lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x, y) = A \iff∀ε>0,∃δ>0,当 0<ρ=(x−x0)2+(y−y0)2<δ 时，有 ∣f(x,y)−A∣<ε.\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } 0 < \rho = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \text{ 时，有 } |f(x, y) - A| < \varepsilon.

二重极限 lim⁡x→x0y→y0f(x,y)\lim_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x, y) 也有一元函数极限的三个性质：唯一性、局部保号性与局部有界性。