数列小书-技能版(第二轮)

高考数学·数列

目录

• 第0篇 前置知识篇：零基础起步
  • 第1章 集合
    • 0.1.1 集合的概念与表示
    • 0.1.2 集合之间的关系与运算
  • 第2章 函数
    • 0.2.1 函数的概念与表示
    • 0.2.2 函数的图象与单调性
  • 第3章 实数与不等式
    • 0.3.1 实数与不等式的基本性质
    • 0.3.2 比较大小的方法与幂的运算
• 第1篇 数列
  • 第1章 数列的概念
    • 1.1.1 数列的概念与表示
    • 1.1.2 数列的分类、递推公式与单调性
  • 第2章 等差数列
    • 1.2.1 等差数列的定义与通项公式
    • 1.2.2 等差数列的前 n 项和与性质
  • 第3章 等比数列
    • 1.3.1 等比数列的定义与通项公式
    • 1.3.2 等比数列的前 n 项和与性质
  • 第4章 数列求和
    • 1.4.1 分组求和与倒序相加
    • 1.4.2 裂项相消与错位相减
  • 第5章 递推与综合应用
    • 1.5.1 常见递推数列的构造求解
    • 1.5.2 数列与函数、不等式的综合应用

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第0篇 前置知识篇：零基础起步

第1章 集合

本章导语

本章从零建立“集合”语言：先认识集合是什么、怎么表示，再学习集合之间的关系与运算。它是全书乃至整个高中数学的第一块基石，数列中大量记号（正整数集、属于符号）都从这里来。

本章结构

• 0.1.1 集合的概念与表示 —— 认识集合、元素、常用数集与表示方法
• 0.1.2 集合之间的关系与运算 —— 子集、相等、交集、并集与补集

0.1.1 集合的概念与表示

本节前置

• （无，本节是全书起点）

严谨定义

定义 1（集合与元素）
把一些确定的、互不相同的对象看成一个整体，这个整体叫作一个集合。

组成这个整体的每一个对象，叫作这个集合的元素。

定义 2（确定性）
一个集合中的元素必须是确定的：对任意一个对象，都能明确判断它属于这个集合还是不属于这个集合，不能模棱两可。

定义 3（互异性）
一个集合中的元素互不相同：同一个对象在集合中只能出现一次，不重复计入。

定义 4（无序性）
集合中元素的排列顺序无关：只要元素完全相同，无论按什么顺序书写，都是同一个集合。

定义 5（属于与不属于）
若对象$a$是集合$A$的元素，则称$a$属于$A$，记作$a \in A$。

若对象$a$不是集合$A$的元素，则称$a$不属于$A$，记作$a \notin A$。

定义 6（自然数集）
全体自然数组成的集合叫作自然数集，记作$\mathbb{N}$，即$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots\}$。

定义 7（正整数集）
全体正整数组成的集合叫作正整数集，记作$\mathbb{N}_{+}$（也写作$\mathbb{N}_+$），即$\mathbb{N}_{+}=\{1,2,3,\cdots\}$。

定义 8（整数集）
全体整数组成的集合叫作整数集，记作$\mathbb{Z}$，即$\mathbb{Z}=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$。

定义 9（有理数集）
能写成两个整数之比的数叫作有理数；全体有理数组成的集合叫作有理数集，记作$\mathbb{Q}$。

定义 10（实数集）
全体实数组成的集合叫作实数集，记作$\mathbb{R}$。

定义 11（列举法）
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号$\{\ \}$中，这种表示方法叫作列举法。

定义 12（描述法）
用集合中元素的共同性质来表示集合，写成$\{x \mid x\text{具有性质}P\}$的形式，这种表示方法叫作描述法。

定义 13（图示法）
画一条封闭曲线，把集合的所有元素都圈在曲线内，用图形表示集合，这种方法叫作图示法，也叫作 Venn 图。

定义 14（有限集与无限集）
含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集。

定义 15（空集）
不含任何元素的集合叫作空集，记作$\varnothing$。

详细讲解

（1）"看成一个整体"是什么意思

先看一个具体问题：老师问"班上哪些同学戴眼镜"，你回答"小明、小红、小刚"。

你回答的不只是三个名字，而是一个整体——"戴眼镜的同学"这个整体。

数学里，我们经常需要"把一些对象捆成一个整体"来一起讨论。

比如"小于$5$的正整数"是$1$、$2$、$3$、$4$这四个对象，把它们看成一个整体，就是"小于$5$的正整数全体"。

这个整体就叫集合，里面的每个对象叫元素。元素可以是数，也可以是别的任何东西。

示例 书包里的语文书、数学书、英语书放在一起，就构成一个集合；每一本书都是这个集合的元素。

（2）三特性之一：确定性

"确定的"是什么意思？就是给出任意一个对象，都能明确回答：它在不在这个集合里。

"身高$1.7$米以上的同学"可以构成集合：任何一个人，量一量身高，就能判断在不在里面。

"高个子同学"就不能构成集合：多高算高个子？没有统一标准，同一个人有人说高、有人说不高。

注意 判断标准一模糊，集合就不成立。确定性是集合与"随便一群东西"的根本区别。

（3）三特性之二：互异性

"互不相同"的意思是：同一个对象在集合里只算一次，不能重复出现。

比如集合$\{1,1,2\}$里写了两个$1$，按互异性只能算一个，所以它其实就是集合$\{1,2\}$。

写集合时把元素写重复了，要合并起来：$\{a,a,b\}$应写成$\{a,b\}$。

示例 方程$x^2-3x+2=0$的解是$1$和$2$，解集写作$\{1,2\}$，不写作$\{1,1,2\}$。

（4）三特性之三：无序性

"顺序无关"的意思是：集合里元素写在前、写在后，不影响这个集合。

$\{1,2,3\}$与$\{3,2,1\}$、$\{2,1,3\}$都是同一个集合。

判断两个集合是否相同，只看元素，不看书写顺序。

注意 这与数列形成鲜明对比：数列强调顺序，$1,2,3,\cdots$与$3,2,1,\cdots$是两个不同的数列；集合则只看内容。到数列章节会反复体会这一点。

（5）元素与集合：$\in$ 与 $\notin$

元素与集合之间只有两种关系：属于，或不属于。

$a$属于集合$A$，记作$a \in A$；$a$不属于集合$A$，记作$a \notin A$。

示例 $2 \in \{1,2,3\}$：$2$在集合里。
示例 $4 \notin \{1,2,3\}$：$4$不在集合里。
示例 $0 \in \mathbb{N}$，而$\frac{1}{2} \notin \mathbb{N}$。

注意 $\in$与$\notin$只用来连接"元素"与"集合"，不能用来连接"集合"与"集合"。集合与集合之间的包含、相等关系，是下一节的内容。

（6）五个常用数集的记号

数学里天天和数打交道，于是给几类最常用的数起了固定名字和记号。

名称	记号	包含的数
自然数集	$\mathbb{N}$	$0,1,2,3,\cdots$
正整数集	$\mathbb{N}_{+}$	$1,2,3,\cdots$
整数集	$\mathbb{Z}$	$\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$
有理数集	$\mathbb{Q}$	能写成两个整数之比的数
实数集	$\mathbb{R}$	数轴上的全部数

这些数集一层套一层：正整数都是自然数，自然数都是整数，整数都是有理数，有理数都是实数。

注意 关于$\mathbb{N}$：有的教材约定自然数不含$0$。本书约定$\mathbb{N}$含$0$；不含$0$的写作$\mathbb{N}_{+}$。

记号可以这样记：

$\mathbb{N}$来自英文 natural（自然的）；$\mathbb{Z}$来自德语 Zahlen（数）；$\mathbb{Q}$来自英文 quotient（商，因为有理数是两个整数之比）；$\mathbb{R}$来自英文 real（实数）。

这些记号在数列中如何用：数列$a_1,a_2,a_3,\cdots$的下标$n$取$1,2,3,\cdots$，正好是$\mathbb{N}_{+}$。

所以本书后面的章节会反复出现"$n \in \mathbb{N}_{+}$"这样的写法，请务必记牢。

示例 数列$a_1,a_2,a_3,\cdots$中，$n \in \mathbb{N}_{+}$；而每一项$a_n$都是实数，即$a_n \in \mathbb{R}$。

（7）列举法怎么用

把集合的元素一个一个写出来，用逗号隔开，外面加大括号，就是列举法。

示例 小于$5$的正整数：$\{1,2,3,4\}$。
示例 方程$x^2=4$的解集：$\{-2,2\}$。

使用列举法有两条注意。

按互异性，元素不要写重复。

按无序性，顺序随便写都行，一般从小到大写，便于看清。

列举法有局限：元素很多或者无限多时，写不全，这时要用描述法。

（8）描述法怎么用

描述法写成$\{x \mid x\text{具有性质}P\}$的形式。

竖线$|$的左边写一个代表元素（通常用一个字母，如$x$），右边写这个元素必须满足的条件$P$。

整个式子读作："所有满足条件$P$的$x$组成的集合"。

示例 偶数集：$\{x \mid x=2k,\ k\in\mathbb{Z}\}$。
示例 大于$0$且小于$1$的实数：$\{x \mid 0<x<1\}$。

描述法有三个注意点。

第一，左边代表元素的字母，与右边条件里的字母要一致。

写成$\{x \mid x^2=4\}$，表示集合$\{-2,2\}$。

而写成$\{x \mid y^2=4\}$，右边的$y$从未被说明，这样的写法不能确定集合：描述法的条件应当涉及代表元素$x$，否则无法判断哪些$x$入选。

第二，只换字母、不换条件，集合不变。

$\{x \mid 0<x<1\}$与$\{y \mid 0<y<1\}$是同一个集合。

这体现集合"只看元素是什么"——与书写用的字母无关。

第三，条件必须把元素完全限定清楚，否则违背确定性。

比如$\{x \mid x\text{很大}\}$，"很大"没有标准，不能构成集合。

（9）Venn 图怎么画

画一条封闭曲线（通常画一个圆圈），把集合的元素写在圈内，就是 Venn 图。

示例 画一个圆圈，圈内写$1$、$2$、$3$，就表示集合$\{1,2,3\}$。

Venn 图的好处是直观，一眼看出集合里有什么；局限是只适合元素少、能画得下的集合。

三种表示法对比：

表示法	写法示例	适用场合
列举法	$\{1,2,3\}$	元素少，能写全
描述法	$\{x \mid x\text{具有性质}P\}$	元素多或无限，用共同性质刻画
图示法	圆圈圈住元素	直观展示，适合元素少的集合

（10）有限集、无限集与空集

元素个数有限的集合叫有限集，如$\{1,2,3\}$。

元素个数无限的集合叫无限集，如$\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$都是无限集。

示例 "大于$3$且小于$2$的整数"这样的数不存在，对应的集合一个元素也没有。

有一个特殊的集合，一个元素也没有，叫作空集，记作$\varnothing$。

注意 $\varnothing$与$\{0\}$不同：$\{0\}$里有一个元素$0$，是有限集；$\varnothing$一个元素也没有。

注意 空集也是一个真实存在的集合，只是元素个数是零。它的作用要到下一节（子集）才显现。

（11）为数列埋伏笔：$\{a_n\}$ 的记号习惯

本书的主题是数列。数列里有个约定俗成的记号：$\{a_n\}$表示数列$a_1,a_2,a_3,\cdots$。

注意，这里的$\{a_n\}$并不是"集合"意义上的集合。

数列强调顺序（$a_1$在前、$a_2$在后），元素还可能重复；而集合无序、不重复。

所以看到$\{a_n\}$，要按"数列"理解，不要按"集合"理解。

这只是符号习惯上的巧合：同样用花括号，含义不同。

注意 本书中，$\{a_n\}$一律指数列；像$\{1,2,3\}$这样列出具体元素的，才是集合。这个区分的细节在数列章节展开。

历史背景

集合的概念看似简单，它却是19世纪末数学史上一次深刻变革的产物。

微积分诞生后，数学家讨论"无穷"时遇到许多说不清的问题：无穷与无穷能比大小吗？自然数和实数哪个更多？

德国数学家康托尔（Georg Cantor，1845—1918）从19世纪70年代开始系统研究这些问题。

他给出的办法正是"把对象看成一个整体"：两个集合"一样多"，当且仅当它们的元素能一一对应。

1874年，康托尔证明了实数比自然数"多"：自然数可以一个一个数下去，实数却数不完。

这个结论当时令许多数学家难以接受，康托尔还遭到克罗内克（Kronecker）等同行长期反对，学术与生活都承受了巨大压力。

1883年前后，康托尔发表了关于超穷数理论的系统著作，逐步建立起集合论的基础。

此后，集合的语言渗透进数学的各个分支，成为整个数学的共同地基。

今天，几乎一切数学对象都可以用集合的语言描述；本书要讲的数列也不例外——数列就是把每个正整数下标对应到一个数。

20世纪初，罗素发现"所有不含自身的集合组成的集合"会导致矛盾：它既不能含自身，又不能不含自身。

这个悖论暴露了朴素集合论的漏洞，史称第三次数学危机，促使数学家后来建立了更严格的公理集合论。【待核：罗素悖论提出及公理集合论建立的具体时间】

同时代的戴德金、弗雷格等数学家也在用类似的思想为算术奠基，共同推动集合语言成为数学的通用语言。

至于记号：$\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$等数集记号，是20世纪数学写作规范化的过程中逐步定型的。【待核：各数集记号定型与普及的具体时间与人物】

0.1.2 集合之间的关系与运算

本节前置

• 集合的概念与表示

严谨定义

定义 1（子集）
若集合$A$的每一个元素都属于集合$B$，则称$A$是$B$的子集，记作$A \subseteq B$（也可写作$B \supseteq A$），读作"$A$包含于$B$"（或"$B$包含$A$"）。

定义 2（真子集）
若$A \subseteq B$，且$B$中至少有一个元素不属于$A$，则称$A$是$B$的真子集，记作$A \subsetneq B$（有些书写作$A \subset B$）。

定义 3（集合相等）
若$A \subseteq B$且$B \subseteq A$，则称$A$与$B$集合相等（即$A$与$B$是同一个集合），记作$A = B$。

定义 4（空集）
不含任何元素的集合称为空集，记作$\varnothing$。

定义 5（全集）
在研究某个具体问题时，若问题涉及的所有对象都属于一个确定的集合$U$，则称$U$为全集。

定义 6（交集）
由既属于$A$又属于$B$的所有元素组成的集合，称为$A$与$B$的交集，记作$A \cap B$，即$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$。

定义 7（并集）
由属于$A$或属于$B$的所有元素组成的集合，称为$A$与$B$的并集，记作$A \cup B$，即$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$。

定义 8（补集）
设$U$为全集，且$A \subseteq U$，由$U$中所有不属于$A$的元素组成的集合，称为$A$在$U$中的补集，记作$\complement_U A$，即$\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$。

详细讲解

（1）两个集合之间：先问"装得下吗"
前节认识了集合本身：集合是"一些确定对象的整体"，里面的对象叫元素。现在把目光移到集合之间：两个集合能不能比较？怎么比较？

第一个问题：$A$的每个元素是不是都在$B$里？若是，就说$A$被$B$"装下了"。这就像套娃：里面的小娃整个装进外面的大娃，一层套一层。

示例 设$A = \{1,2\}$，$B = \{1,2,3\}$。$A$的两个元素$1$、$2$都在$B$里，所以$A \subseteq B$。若$C = \{2,4\}$，$4$不在$B$里，所以$C \not\subseteq B$。

（2）"属于"与"包含"是两回事
$\in$连接"元素与集合"，$\subseteq$连接"集合与集合"，一字之差，方向完全不同。$x \in A$说"$x$是$A$里的一个对象"；$A \subseteq B$说"$A$这个整体被装进$B$"。

注意 $2 \in \{1,2,3\}$成立，$2 \subseteq \{1,2,3\}$不成立——$2$是数，不是集合；$\{2\} \subseteq \{1,2,3\}$成立——$\{2\}$是集合，它的元素$2$在对方集合里。

注意 再区分$\{1,2\}$与$\{\{1,2\}\}$：后者只有一个元素，这个元素恰是集合$\{1,2\}$。所以$\{1,2\} \in \{\{1,2\}\}$成立，而$\{1,2\} \not\subseteq \{\{1,2\}\}$——$1$不在$\{\{1,2\}\}$里。

（3）真子集：子集里"严格小"的一种
子集允许"一样大"：任何集合$A$都有$A \subseteq A$，每个集合都是自己的子集。真子集在子集之上再加一条：$B$中至少有一个元素不在$A$里，即$B$比$A$"多出东西"。因此真子集必有$A \neq B$。

概念	条件	例子
子集$A \subseteq B$	$A$的每个元素都在$B$里	$\{1,2\} \subseteq \{1,2\}$
真子集$A \subsetneq B$	子集，且$B$至少多一个元素	$\{1,2\} \subsetneq \{1,2,3\}$

（4）相等：两个方向都包含
为什么集合相等要求"两个方向都包含"？只看一个方向，只能知道$A$不比$B$大。只有$A \subseteq B$且$B \subseteq A$同时成立，才能说$A$与$B$相等——两边"不多不少、完全一样"。

这也呼应前节的互异性与无序性：判断相等只看元素本身，不看书写顺序，也不看重复。

示例 $\{1,2\}$与$\{2,1\}$相等（顺序无关）；$\{1,2\}$与$\{1,2,2\}$相等（重复不影响）。

（5）空集：一个元素也没有
空集$\varnothing$不含任何元素。由"一个都没有"推出两条性质，必须记住：

• 空集是任何集合的子集：$\varnothing \subseteq A$对任意集合$A$成立；
• 空集是任何非空集合的真子集。

为什么第一条成立？检查"$\varnothing$的每个元素都在$A$里"时，$\varnothing$里一个元素也没有，没有任何对象需要检查，检查自动通过。为什么第二条成立？$A$非空，说明$A$里至少有一个元素，它当然不在$\varnothing$里，于是$A$比$\varnothing$多出元素，符合真子集。

注意 $\varnothing$与$\{0\}$不是一回事：$\varnothing$一个元素都没有，$\{0\}$含有一个元素$0$。所以$\varnothing \neq \{0\}$；$\varnothing \subseteq \{0\}$成立，而$\varnothing \notin \{0\}$也成立——空集不是一个数。

（6）交集：挑出两边都有的
交集取"公共部分"：既在$A$里、又在$B$里的元素。在Venn图中，$A \cap B$正是两个圆圈重叠的公共区域。

若两个集合没有公共元素，交集就是空集，此时称$A$与$B$不相交。

示例 $\{1,2,3\} \cap \{2,3,4\} = \{2,3\}$；$\{1,2\} \cap \{3,4\} = \varnothing$。

（7）并集：把两边全装进来
并集取"全体"：属于$A$或属于$B$的元素都算，重复的元素只写一次。在Venn图中，$A \cup B$是两个圆圈覆盖的全部区域。

运算	取哪些元素	记号	例子
交集	既属于$A$又属于$B$	$A \cap B$	$\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$
并集	属于$A$或属于$B$	$A \cup B$	$\{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\}$

（8）补集：全集里"剩下的"
补集不是绝对的，必须先约定全集$U$。$\complement_U A$是"在$U$里、却不在$A$里"的元素。在Venn图中，补集是全集这个大方框里、$A$的圆圈以外的部分。

全集不同，同一个集合的补集就不同，所以补集记号必须带下标$U$。

示例 设$U = \{1,2,3,4,5\}$，$A = \{1,2\}$，则$\complement_U A = \{3,4,5\}$。若把全集换成$U' = \{1,2,3\}$，则$\complement_{U'} A = \{3\}$。

（9）运算律：交换、结合、分配
交与并各自满足交换律和结合律，两者之间还满足分配律：

$$A \cap B = B \cap A, \qquad A \cup B = B \cup A,$$

$$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C), \qquad (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C),$$

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),$$

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$$

为什么分配律成立？从元素的角度看：$x$属于$A \cap (B \cup C)$，意思是$x \in A$，且$x \in B$或$x \in C$。这等价于"$x \in A$且$x \in B$"或"$x \in A$且$x \in C$"，即$x$属于$(A \cap B) \cup (A \cap C)$。逻辑上的"且"与"或"恰好有这种分配关系。

（10）德摩根律：补集的"翻面"
德摩根律（了解即可）把补集与交、并联系起来：

$$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B,$$

$$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B.$$

记忆口诀："交的补等于补的并，并的补等于补的交"。逻辑上的对应是：并非（$x \in A$且$x \in B$），等价于$x \notin A$或$x \notin B$。

（11）数一数：$n$个元素能造出多少个子集
含$n$个元素的集合，共有$2^n$个子集、$2^n - 1$个真子集。

计数道理是每个元素可选可不选。构造一个子集，就是逐个决定"这个元素放不放进去"：每个元素有"选"与"不选"两种选择，$n$个元素的选择互不干扰，由乘法原理，共有

$$2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n$$

种选择，每种选择恰好对应一个子集。

全部不选，得到空集$\varnothing$；全部选，得到集合本身。真子集要排除集合本身这一个，所以是$2^n - 1$个。

示例 集合$\{1,2\}$有$2^2 = 4$个子集：$\varnothing$、$\{1\}$、$\{2\}$、$\{1,2\}$；真子集去掉$\{1,2\}$，剩$3$个。空集$\varnothing$有$2^0 = 1$个子集（就是它自己），真子集有$2^0 - 1 = 0$个。

（12）给数列的一句话铺垫
后面的数列可以看作"以正整数集$\mathbb{N}_{+}$为指标集"的一列数：第$n$项$a_n$的角标$n$取自$\mathbb{N}_{+}$。这种"数集作为取值范围"的写法，就是本节记号在全书中的延伸。

历史背景

集合论由德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845—1918）在19世纪70年代创立。他在研究实数问题时第一次系统思考"无穷集合"：两个无穷集合怎么比大小？元素个数怎么数？由此开创了集合论。"子集""相等"等概念在康托尔的著作中已有文字表述，他称子集为"部分集合"（Teilmenge）。

本书反复使用的Venn图，由英国逻辑学家约翰·维恩（John Venn）于1880年提出，用来直观地表示集合之间的关系。

记号方面：属于符号$\in$由意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）于1889年引入，取自希腊字母$\varepsilon$（epsilon），寓意"是、存在"。交集符号$\cap$也由皮亚诺引入，时间约在1888年【待核：$\cap$首次出现的具体著作与年份】。

并集符号$\cup$出现得更晚，确切的引入者与年份【待核：$\cup$的引入者与年份】。子集符号$\subseteq$、真子集符号$\subsetneq$与补集符号$\complement$的引入过程【待核：$\subseteq$、$\subsetneq$、$\complement$的记号来源】。

空集符号$\varnothing$由法国数学家安德烈·韦伊（André Weil）于1939年引入，取自挪威字母"ø"——它形似一条斜线划过的$0$，寓意"什么也没有"。这一符号后来随布尔巴基学派（韦伊是创始人之一）的著作而普及。

还有一个值得知道的故事：康托尔时代曾有人设想"所有集合的集合"这样的终极全集，但后来人们发现，这种"包罗万象的集合"会引出矛盾（如罗素悖论）。现代数学因此不再追求一个无所不包的"全集"，而是像定义5那样，在具体问题中约定一个够用的范围。

第2章 函数

本章导语

本章把“函数”讲透：什么是函数、怎么表示、图象长什么样、单调性怎么看。数列的本质是定义在正整数集上的函数，读懂本章是理解数列的一把钥匙。

本章结构

• 0.2.1 函数的概念与表示 —— 函数三要素与三种表示法
• 0.2.2 函数的图象与单调性 —— 图象读法、单调性与最值

0.2.1 函数的概念与表示

本节前置

• 集合的概念与表示

严谨定义

定义 1（函数）
设 $A$、$B$ 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 $f$，对于 $A$ 中的任意一个数 $x$，在 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 与之对应，那么就称 $f: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数，记作 $y = f(x)$，$x \in A$。

定义 2（自变量、定义域、函数值与值域）
在函数 $y = f(x)$，$x \in A$ 中，$x$ 称为自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 称为函数的定义域；与 $x$ 的值相对应的 $y$ 值称为函数值；函数值的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$ 称为函数的值域。定义域、对应关系与值域合称函数的三要素。

定义 3（解析法）
用数学表达式（公式）表示两个变量之间对应关系的方法，称为解析法。

定义 4（列表法）
列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法，称为列表法。

定义 5（图象法）
用图象表示两个变量之间对应关系的方法，称为图象法。

定义 6（分段函数）
在定义域的不同部分，用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。

详细讲解

（1）从"变量说"升级到"对应说"
初中时我们学过函数，当时的说法是：在一个变化过程中，有两个变量 $x$ 和 $y$，如果对于 $x$ 的每一个值，$y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么 $y$ 就是 $x$ 的函数。

这个说法叫"变量说"。它有两个含糊之处：一是"变化过程"到底是什么，没说清楚；二是 $x$ 究竟能取哪些值，也没说清楚。

本节的定义叫"对应说"，正好把这两处补上了：$x$ 的取值范围明确为集合 $A$，对应发生在 $A$ 与另一个非空数集 $B$ 之间。

"对应说"更精确，也更一般：它不依赖"变化"这种带过程色彩的说法，只要"输入一个 $x$、输出一个 $y$"的关系摆在那里，就是一个函数。

（2）一台"翻译机"：投一个输入，出一个输出
可以把函数想成一台自动售货机（或翻译机）：投进去一个 $x$，机器按内部规则 $f$ 运转，吐出一个 $y$。

这台机器有两个脾气：第一，凡是 $A$ 里的 $x$，投进去都必须有输出，不能"卡住"；第二，同一个 $x$ 投多少次，吐出的 $y$ 都必须一样，不能"看心情"。

一句话：一个输入，一个输出，次次如此。这就是"唯一确定"。

（3）"唯一确定"是关键：一个 $x$ 只能对应一个 $y$
"唯一确定"的意思是：给定 $x$ 之后，$y$ 只有一个，没有第二个选择。

示例 $y = x + 1$：$x = 2$ 时，$y$ 只能是 $3$，不可能同时是别的数。

但要注意，"唯一"只管"一个 $x$ 只出一个 $y$"，不管"几个 $x$ 共享一个 $y$"。

示例 $y = x^2$：$x = 2$ 与 $x = -2$ 都对应 $y = 4$。这是允许的，不违反"唯一确定"。

那么，什么样的对应不是函数？只要"一个 $x$ 对应了两个 $y$"就不是。

示例 $y^2 = x$（$x > 0$）：取 $x = 4$，则 $y = 2$ 或 $y = -2$，一个 $x$ 对应两个 $y$，所以 $y^2 = x$ 不是函数（$y$ 不是 $x$ 的函数）。

注意 反过来，$x = y^2$ 中如果把 $y$ 当作自变量、$x$ 当作函数值，那么每个 $y$ 唯一对应一个 $x$，$x = y^2$ 就是一个函数。判断"是不是函数"，必须先说清谁是自变量。

（4）函数的三要素
一个函数由三样东西决定：定义域、对应关系、值域。三者的地位不同：定义域和对应关系确定后，值域就自动确定了。

• 定义域：自变量 $x$ 的取值范围，即集合 $A$；
• 对应关系 $f$：从 $x$ 得到 $y$ 的规则，即"机器怎么运转"；
• 值域：所有函数值组成的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$。

先看定义域为什么不能少：同一个规则，允许的输入不同，函数就不同。例如 $y = x^2$ 在 $A = \mathbb{R}$ 上和在 $A = [0, 2]$ 上，对应关系相同，定义域不同，是两个不同的函数。

再看对应关系为什么不能少：同样的定义域，规则不同，输出就不同。例如 $y = x^2$ 与 $y = x$，定义域都是 $\mathbb{R}$，但对应关系不同，是两个函数。

最后看值域：它由定义域和对应关系共同决定，不需要单列。

注意 值域不一定是整个 $B$。$B$ 只是"装函数值的大容器"，函数实际取到的值往往只占 $B$ 的一部分。
示例 $f(x) = x^2$（$A = \mathbb{R}$，$B = \mathbb{R}$）：值域是 $[0, +\infty)$，只是 $B$ 的一部分。

（5）记号 $f(x)$ 与 $f(a)$
$f$ 是那个对应关系本身，可以看作"机器"；$f(x)$ 表示"机器对输入 $x$ 给出的输出"，即自变量取 $x$ 时的函数值；$f(a)$ 表示"当 $x = a$ 时的函数值"，是一个具体的数。

示例 设 $f(x) = x^2 + 1$，则 $f(2) = 2^2 + 1 = 5$，$f(0) = 1$，$f(-3) = 10$。

注意 $f(x)$ 是含字母 $x$ 的式子，$f(a)$ 是确定的数。两者不是一回事：$f(a)$ 就是把 $f(x)$ 中的 $x$ 换成 $a$ 之后得到的数值。

（6）三种表示法：同一个函数，三种讲法
同一个函数，可以用三种方法表示：解析法、列表法、图象法。它们描述的是同一个对应关系，只是"讲法"不同，可以互相转化。

方法	含义	优点	局限
解析法	用公式表示对应关系	精确，便于计算与理论研究	有些函数写不出公式
列表法	用表格列出对应值	直观，直接查到函数值	只能列出有限个值，看不出一般规律
图象法	用图象表示对应关系	直观看出整体变化趋势	从图象读数往往只能得到近似值

（7）解析法：一个公式，全部对应
解析法就是把对应关系写成一个数学式子，例如 $y = 2x + 1$、$y = x^2$、$y = \dfrac{1}{x}$。

它的好处是精确：把 $x$ 代进去就能算出 $y$；研究性质（如后面的单调性）也主要靠解析式。

它的局限是：并不是每个函数都能写出解析式。

示例 一天中气温随时间的变化，每个时刻对应一个气温，这是函数，但几乎写不出它的公式。这类函数用图象法或列表法更合适。

（8）列表法：一张表格，直接查值
列表法就是把自变量与函数值一一对应地列成一张表。

示例 某学生最近 5 次测验的成绩：次数 $1, 2, 3, 4, 5$ 分别对应 $78, 85, 80, 92, 88$，列成表格一目了然。

列表法的好处是直观、不用计算；局限是只能列出有限个值，表格之外的自变量取什么函数值，表上看不出来。

（9）图象法：一条曲线，看见趋势
图象法就是把每一对 $(x, y)$ 描在坐标平面上，得到函数的图象。图象能一眼看出函数"涨落"的整体趋势：哪一段在上升，哪一段在下降。

局限是从图象上读数只能得到近似值。图象的具体画法，以及"上升、下降"的严格说法（单调性），留给 0.2.2 节。

（10）分段函数：不同区间，不同公式
有些函数，在定义域的不同部分要用不同的解析式表示，这样的函数叫分段函数。最典型的是绝对值函数：

$$f(x) = |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases}$$

$x \geq 0$ 时用 $f(x) = x$，$x < 0$ 时用 $f(x) = -x$。

示例 出租车计价：起步价内收固定费用，超过起步里程按里程加价——不同里程段用不同规则，这也是分段函数。

注意 分段函数是一个函数，不是几个函数。求函数值时先看 $x$ 落在哪个区间，再用那一段的解析式计算。
示例 对 $f(x) = |x|$：$f(3) = 3$（$3 \geq 0$，用第一段），$f(-2) = 2$（$-2 < 0$，用第二段）。

（11）简单定义域的求法：三条规则
求定义域，就是问：$x$ 取哪些数时这个函数有意义？有三条规则：

• 分母不能为 0；
• 偶次根号下的式子必须非负（$\geq 0$）；
• 实际问题中，自变量还要符合实际意义。

示例 $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$：分母 $x - 2 \neq 0$，即 $x \neq 2$，定义域是 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$。
示例 $f(x) = \sqrt{x - 1}$：要求 $x - 1 \geq 0$，即 $x \geq 1$，定义域是 $[1, +\infty)$。
示例 两规则并用：$f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$。既要 $x - 1 \geq 0$，又要 $x - 2 \neq 0$，故 $x \geq 1$ 且 $x \neq 2$，定义域是 $[1, 2) \cup (2, +\infty)$。

注意 "偶次根号下非负"只对偶次根号（平方根、四次方根等）成立；奇次根号（如三次方根）对被开方数没有非负要求，例如 $\sqrt[3]{-8} = -2$ 有意义。

示例 实际问题：边长为 $x$ 的正方形，面积 $S = x^2$。边长必须大于 0，所以这个函数的定义域是 $(0, +\infty)$，而不是整个 $\mathbb{R}$。

（12）定义域不同，函数就不同
判断两个函数是不是同一个函数，要看两点：定义域是否相同，对应关系是否相同。只要有一条不同，就是不同的函数。

示例 $y = x$ 与 $y = \dfrac{x^2}{x}$：化简后都是 $y = x$，但前者的定义域是 $\mathbb{R}$，后者的定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}$（$x = 0$ 时分母为 0，无意义）。定义域不同，所以它们是两个不同的函数。

（13）通向数列的桥：数列就是函数
如果把自变量限定为正整数 $n$，函数值记作 $a_n$，那么数列就是定义在正整数集（或其有限子集 $\{1, 2, \dots, n\}$）上的函数。

用函数的记号写，就是 $a_n = f(n)$：自变量是 $n$，函数值 $a_n$ 是"第 $n$ 项"。

这正是本书主角——数列——与函数的关系。详细展开放在正篇第 1 章。

历史背景

"函数"一词源自拉丁语 functio，原意是"执行、履行、功能"。17 世纪末，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在讨论曲线问题时最早使用 function 一词，指与曲线有关的量【待核：莱布尼茨首次使用 function 一词的具体年份与论著】。

18 世纪，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）引入记号 $f(x)$，表示"关于 $x$ 的函数"【待核：欧拉首次使用记号 $f(x)$ 的具体年份与论著】。在欧拉的时代，函数几乎就等于"解析式"，即一个公式。

19 世纪，法国数学家傅里叶（Joseph Fourier）在研究热传导时，用三角级数表示函数，这促使数学家重新思考"函数到底是什么"——有些函数根本没有解析式。德国数学家狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）由此给出了近代定义：函数是两个集合之间的对应关系【待核：狄利克雷提出近代函数定义的具体年份与论著】。
狄利克雷甚至构造了著名的"狄利克雷函数"：当 $x$ 是有理数时取 $1$，当 $x$ 是无理数时取 $0$。它没有解析式，却是一个地地道道的函数。

我国现行高中数学教材采用的就是狄利克雷式的"对应说"。

0.2.2 函数的图象与单调性

本节前置

• 集合的概念与表示
• 函数的概念与表示

严谨定义

定义 1（函数的图象）
设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$。在平面直角坐标系中，以自变量 $x$ 为横坐标、函数值 $f(x)$ 为纵坐标，满足 $y = f(x)$ 的点 $(x, f(x))$ 的全体所组成的图形，称为函数 $y = f(x)$ 的图象，即集合 $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$。

定义 2（单调递增）
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subseteq D$。如果对于 $I$ 内任意两个值 $x_1$、$x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，那么就称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增。

定义 3（单调递减）
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subseteq D$。如果对于 $I$ 内任意两个值 $x_1$、$x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，那么就称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减。

定义 4（增函数）
如果函数 $f(x)$ 在其整个定义域 $D$ 上单调递增，就称 $f(x)$ 为增函数。

定义 5（减函数）
如果函数 $f(x)$ 在其整个定义域 $D$ 上单调递减，就称 $f(x)$ 为减函数。

定义 6（最大值）
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。如果存在实数 $M$，使得对所有 $x \in D$ 都有 $f(x) \le M$，并且存在 $x_0 \in D$ 使 $f(x_0) = M$，那么就称 $M$ 为函数 $f(x)$ 的最大值。

定义 7（最小值）
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。如果存在实数 $m$，使得对所有 $x \in D$ 都有 $f(x) \ge m$，并且存在 $x_0 \in D$ 使 $f(x_0) = m$，那么就称 $m$ 为函数 $f(x)$ 的最小值。

详细讲解

（1）图象是函数的"照片"
上一节讲过函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法。这里把"图象法"讲透：图象怎么画、怎么读，以及从图象看出的两个重要性质——升降趋势与最值。

一个函数 $y = f(x)$ 的图象，就是把每一对 $(x, f(x))$ 都画在平面直角坐标系里的结果：横坐标是 $x$，纵坐标是 $f(x)$。

图象好比函数的"照片"：函数值怎么变，照片就怎么起伏。照片不会说谎——图象上的每个点，都对应"一个自变量、一个函数值"。

注意 因为一个 $x$ 只能对应一个 $y$（上一节的"唯一确定"），所以函数图象有个特点：任何一条竖直直线与图象至多交于一个点。
反过来，如果某条曲线被一条竖直直线穿过两个点，它就"一个自变量对应了两个函数值"，不是函数的图象。

（2）画图象的步骤：描点法
函数图象上有无穷多个点，不可能一个一个全画出来。我们采用描点法，分三步：

• 列表：在定义域内取一些有代表性的 $x$ 值，算出对应的 $f(x)$，列成表格；
• 描点：把表格里的每一对 $(x, f(x))$ 当作点的坐标，在坐标系里描出这些点；
• 连线：按 $x$ 从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的点连起来。

示例 用描点法画 $y = x^2$ 的图象。
列表：$x$ 取 $-2, -1, 0, 1, 2$，对应 $f(x)$ 为 $4, 1, 0, 1, 4$。
描点：描出 $(-2, 4)$、$(-1, 1)$、$(0, 0)$、$(1, 1)$、$(2, 4)$ 这五个点。
连线：用平滑曲线从左到右连起来，得到一条开口向上的抛物线。

注意 点取得越多、分布越均匀，画出的图象越接近真实；但有限个点永远不能代替全部点——"连线"这一步，是在按趋势补全点与点之间的部分。

（3）从图象上读信息：四类问题
画好图象后，很多问题可以直接"看图说话"。图象能回答的问题主要有四类。

• 求函数值：横坐标为 $a$ 的点的纵坐标，就是 $f(a)$。

示例 从 $y = x + 1$ 的图象看，横坐标为 $2$ 的点是 $(2, 3)$，所以 $f(2) = 3$。

• 与 $x$ 轴的交点：交点处纵坐标为 $0$，即 $f(x) = 0$。

交点的横坐标，就是方程 $f(x) = 0$ 的解。

• 与 $y$ 轴的交点：交点处横坐标为 $0$，纵坐标为 $f(0)$。

• 两个图象的交点：两条图象交于一点，说明两函数在该点的函数值相等。

示例 直线 $y = x + 1$ 与 $x$ 轴交于 $(-1, 0)$，故方程 $x + 1 = 0$ 的解是 $x = -1$；与 $y$ 轴交于 $(0, 1)$，故 $f(0) = 1$。

（4）上升与下降：单调性的直观
图象还有一个一眼就能看出的信息：升降趋势。从左往右看，图象一路上升，说明 $f(x)$ 随 $x$ 增大而增大；图象一路下降，说明 $f(x)$ 随 $x$ 增大而减小。

这种"只增不减"或"只减不增"的性质，叫作函数的单调性。

可以这样记：单调递增就像上坡——越往前走位置越高；单调递减就像下坡——越往前走位置越低。

注意 "单调"强调"单一方向"：一路上坡或一路下坡，不许"先上后下"或"先下后上"。
若有一段图象是水平的，则存在 $x_1 < x_2$ 使 $f(x_1) = f(x_2)$，不满足严格的 $<$ 或 $>$，所以那段也不单调。

（5）"任意两个值"到底是什么意思
单调递增定义里，最关键的是"$I$ 内任意两个值 $x_1 < x_2$"这句话。"任意"的意思是：$I$ 里的每一个点对都要检验，一个都不能漏。

用符号写，就是 $\forall x_1, x_2 \in I$，只要 $x_1 < x_2$，就必须有 $f(x_1) < f(x_2)$。$\forall$ 读作"对任意"，表示"每一个、所有的"。

为什么必须"任意"？因为只取两个特殊点检验，远远不够。

示例 看 $f(x) = x^2$ 在 $[-1,2]$ 上的表现。
只取 $x_1 = -1$、$x_2 = 2$：$f(-1) = 1 < f(2) = 4$，好像"递增"。
再取 $x_1 = -1$、$x_2 = 0$：$f(-1) = 1 > f(0) = 0$，又像"递减"。
两个特殊点各说各话——这正是"特殊点不可信"的原因。

再看定义要求的完整检验：$[-1,2]$ 里同时存在"值变小的一段"（$-1$ 到 $0$）和"值变大的一段"（$0$ 到 $2$），所以 $f(x) = x^2$ 在 $[-1,2]$ 上既不单调递增也不单调递减。

注意 判断单调性，不能只试两个点，也不能只画个草图看一眼就下结论——必须确认"区间内任意两个值"都满足不等式。

（6）单调性是"区间"的性质
单调性是对区间而言的：说"单调递增"或"单调递减"之前，必须先说清"在哪个区间上"。

同一个函数，在不同区间上的单调性可能完全不同，甚至在整个定义域上根本不单调。最经典的例子是 $y = x^2$（定义域为 $\mathbb{R}$）：

• 在 $(-\infty,0]$ 上：越往右（$x$ 越接近 $0$）值越小，单调递减；
• 在 $[0,+\infty)$ 上：越往右值越大，单调递增；
• 在整个 $\mathbb{R}$ 上：有减有增，既不单调递增也不单调递减。

端点算不算在区间里，不影响"这一段单调不单调"的结论：$y = x^2$ 在 $(-\infty,0)$ 上同样单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上同样单调递增。端点影响的是"能不能取到"，这关系到最值——见（8）（9）。

注意 正确说法是"$y = x^2$ 在 $(-\infty,0]$ 上单调递减、在 $[0,+\infty)$ 上单调递增"；不能说"$y = x^2$ 是单调函数"。

（7）增函数与减函数：整个定义域上的单调
如果函数在其整个定义域 $D$ 上都单调递增，就称它为增函数；整个定义域上都单调递减，就称它为减函数。

增函数、减函数是"区间单调"的特例：区间取到最大——整个定义域。使用"增函数/减函数"这个称呼时，隐含的意思是"在定义域上处处单调"。

称呼	条件（对定义域内任意 $x_1 < x_2$）	图象
增函数	$f(x_1) < f(x_2)$	从左到右一路上升
减函数	$f(x_1) > f(x_2)$	从左到右一路下降

示例 $f(x) = 2x + 1$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上单调递增，是增函数。
$f(x) = -x$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上单调递减，是减函数。
$f(x) = x^2$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上既不是增函数也不是减函数。

（8）最大值与最小值：必须真的取到
先看直觉：最大值就是函数值里最大的那个，最小值就是最小的那个。但"最大"要成立，需要同时满足两条：

• 界限：对所有 $x \in D$，都有 $f(x) \le M$，即任何函数值都不超过 $M$；
• 取到：存在 $x_0 \in D$，使 $f(x_0) = M$，即 $M$ 真的被某个自变量取到。

两条缺一不可，尤其"取到"这一条最容易被忽略。

示例 设 $f(x) = x$，定义域为开区间 $(0,1)$。
任何函数值都小于 $1$，$1$ 像是"天花板"；但 $1$ 不在定义域内，无论 $x$ 取 $(0,1)$ 里的哪个数，$f(x)$ 都取不到 $1$。
所以 $f(x) = x$ 在 $(0,1)$ 上没有最大值；同理也没有最小值（$0$ 同样取不到）。

注意 "最大"必须真的取到。开区间端点处的"极限值"不能算最大值——这是最值问题中最容易出错的地方。

还有一种边界情形：如果函数值恒为同一个常数（如 $f(x) = 3$），那么最大值和最小值都是 $3$——它既是最大值也是最小值，因为"不超过 $3$"和"不小于 $3$"同时成立，且 $3$ 显然被取到。

最小值的两条与最大值对称：对所有 $x \in D$ 都有 $f(x) \ge m$，且存在 $x_0 \in D$ 使 $f(x_0) = m$。

（9）最值与单调性的关系：单调函数的最值在端点
如果函数在闭区间 $[a,b]$ 上单调递增，那么越往右值越大：最小值一定在左端点 $a$ 处取到，即 $f(a)$；最大值一定在右端点 $b$ 处取到，即 $f(b)$。

如果函数在 $[a,b]$ 上单调递减，则正好反过来：$f(a)$ 是最大值，$f(b)$ 是最小值。

函数在 $[a,b]$ 上	最小值	最大值
单调递增	$f(a)$	$f(b)$
单调递减	$f(b)$	$f(a)$

示例 $f(x) = 2x + 1$ 在闭区间 $[1,3]$ 上单调递增，所以最小值是 $f(1) = 3$，最大值是 $f(3) = 7$。
注意方向：递增时左端点出最小值、右端点出最大值，不要弄反。

注意 这条结论要求"闭区间 $[a,b]$"：端点必须在定义域内。
若是开区间或半开半闭区间，端点可能取不到，最值可能不存在——回顾（8）中 $f(x) = x$ 在 $(0,1)$ 上没有最值的例子。

（10）两个常见基本函数的图象形状
有两个基本函数的图象必须记熟，后文处处用到。

• 一次函数 $y = kx + b$：图象是一条直线。

$k > 0$ 时直线从左到右上升，函数在整个 $\mathbb{R}$ 上单调递增，是增函数；$k < 0$ 时从左到右下降，单调递减，是减函数；$k = 0$ 时是水平直线 $y = b$，函数值恒为常数，既不递增也不递减。

• 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）：图象是抛物线。

$a > 0$ 时开口向上，先减后增，最低点处取最小值；$a < 0$ 时开口向下，先增后减，最高点处取最大值。开口方向只由 $a$ 的符号决定。

注意 一次函数是"全局单调"的（整个定义域上一个方向），二次函数是"分两段单调"的（对称轴左右各一段）——这正是（6）所说"单调性对区间而言"的活例子。

（11）通向数列的桥：数列的图象是孤立的点
0.2.1 节说过：数列就是定义在正整数集上的函数。作为函数，数列也有"图象"。

数列 $a_n$ 的图象是点 $(1, a_1)$、$(2, a_2)$、$(3, a_3)$、……：横坐标是正整数 $n$（$n \in \mathbb{N}_{+}$），纵坐标是第 $n$ 项 $a_n$。

它与一般函数图象的关键区别在于：一般函数的自变量 $x$ 连续取实数，图象是一条连续的曲线。

而数列的自变量 $n$ 只取正整数，相邻两个 $n$ 之间没有别的取值，所以数列的图象是一个个孤立的点，点与点之间不连线。

数列的增减性与函数的单调性是一回事：$a_n$ 随 $n$ 增大而增大，就是"图象从左到右上升"。

只不过因为 $n$ 只取正整数，"任意两个 $n_1 < n_2$"的条件可以简化为比较相邻项——这个"同构"关系正是第 1 篇的主角，这里先点到为止。

历史背景

图象的根基是坐标系。17 世纪，法国数学家笛卡尔（René Descartes）于 1637 年出版的《方法论》附录《几何学》中，引入用一对数（坐标）表示点的位置、用方程表示曲线的方法，把几何问题转化为代数问题——这就是解析几何的开端。

从此"数"与"形"打通：曲线可以用方程来研究，方程也可以画出图象来看。函数图象正是这种"以数解形、以形助数"思想的产物。

几乎同时，法国数学家费马（Pierre de Fermat）也独立发展了解析几何的思想【待核：费马独立研究解析几何的具体时间与著作】。

"单调"一词来自英文 monotone，源出希腊语 monotónos，由 monos（单一）与 tonos（音调）构成，本义是"单一音调的"，引申为"单一方向的"。

数学中用它描述函数"只沿一个方向变化"的性质，与"单调递增/单调递减"的含义正相吻合【待核：数学文献中最早使用 monotone 表示"单调函数"的学者与年份】。

中文"单调"是意译，取"单一方向变化"之意。

第3章 实数与不等式

本章导语

本章补齐数列计算所需的代数工具：实数的顺序与不等式性质、作差比较大小、幂的运算律。等差、等比数列的推导和比较题都会反复用到。

本章结构

• 0.3.1 实数与不等式的基本性质 —— 实数大小、不等式的四则性质
• 0.3.2 比较大小的方法与幂的运算 —— 作差作商比较、幂的运算律

0.3.1 实数与不等式的基本性质

本节前置

• 集合的概念与表示

严谨定义

定义 1（实数）
实数是有理数与无理数的统称。有理数是能写成两个整数之比$\frac{p}{q}$（$p$、$q$为整数，$q\neq 0$）的数，包括整数与分数；无理数是无限不循环小数，如$\sqrt{2}$、$\pi$。

全体实数组成的集合称为实数集，记作$\mathbb{R}$。实数与数轴上的点一一对应。

定义 2（数轴）
规定了原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

定义 3（实数大小比较）
设$a$、$b$是任意两个实数，则

$$a > b \iff a - b > 0,\qquad a = b \iff a - b = 0,\qquad a < b \iff a - b < 0.$$

定义 4（不等式与不等号）
用不等号连接两个数或代数式所成的式子称为不等式。常用的不等号有$>$（大于）、$<$（小于）、$\ge$（大于或等于）、$\le$（小于或等于）、$\neq$（不等于）。

性质 1（传递性）
若$a>b$且$b>c$，则$a>c$。

性质 2（可加性）
若$a>b$，则$a+c>b+c$（$c$为任意实数）。

性质 3（可乘性）
若$a>b$且$c>0$，则$ac>bc$；若$a>b$且$c<0$，则$ac<bc$。

性质 4（同向可加）
若$a>b$且$c>d$，则$a+c>b+d$。

性质 5（同正可乘）
若$a>b>0$且$c>d>0$，则$ac>bd$。

性质 6（正数同向可乘方）
若$a>b>0$，$n$为正整数（$n\in\mathbb{N}_{+}$），则$a^n>b^n$。

性质 7（正数倒数的性质）
若$a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

定义 5（不等式的解集）
使不等式成立的未知数的值称为不等式的解；一个不等式的所有解组成的集合称为这个不等式的解集。解集可以在数轴上直观地表示出来。

详细讲解

（1）实数家族：有理数与无理数
先给实数"排户口"。有理数包括：

• 整数：$0$、$1$、$-5$等；
• 分数：$\frac{1}{2}$、$-\frac{3}{4}$等；
• 有限小数：$0.5=\frac{1}{2}$；
• 无限循环小数：$0.333\ldots=\frac{1}{3}$。

无理数则是无限不循环小数：$\sqrt{2}=1.41421356\ldots$不循环，$\pi=3.14159265\ldots$也不循环，它们都写不成两个整数之比。

注意 判断一个数是有理数还是无理数，要看它能否写成两个整数之比，不能只看表面：$\sqrt{4}=2$是有理数，$\pi$不带根号却是无理数。

实数与数轴上的点一一对应，要分两层理解：第一，每个实数都能在数轴上找到唯一一个点；第二，数轴上的每个点也都对应唯一一个实数——不多不少，正好配齐。

（2）数轴：一把量数的尺子
数轴有三个要素：原点、正方向、单位长度。原点表示$0$，正方向通常取向右，单位长度决定"一格"代表多少。
数轴规定了"右大左小"：右边的点表示的数总比左边的大。

示例 温度计就是一条竖起来的数轴，越往上温度越高。$-5$在$-2$的下方，所以$-5<-2$：零下五度比零下二度更冷。

比大小有了数轴这把"尺子"，就有了直观：谁在右边，谁就大。

（3）比大小的根本依据：看"差"的正负
数轴上$a$在$b$的右边，意思是"从$b$出发向右走$a-b$这么远就到$a$"。

向右走是正方向，所以$a-b>0$；反过来，若$a-b>0$，则$a$一定在$b$的右边。
于是比较两个实数的大小，不必看它们"长什么样"，只需算差的正负：

• $a-b>0$，则$a>b$；
• $a-b=0$，则$a=b$；
• $a-b<0$，则$a<b$。

示例 $5$与$3$：$5-3=2>0$，所以$5>3$。
示例 $-2$与$-5$：$-2-(-5)=3>0$，所以$-2>-5$（注意负负得正）。

这种"算出差的正负来判断大小"的方法，就是作差法的雏形，0.3.2 节会正式展开。它也是 0.2.2 节判断函数单调性的思路：比较函数值之差的正负。

本节的 7 条性质，全都围绕"差的正负"展开。

（4）五种不等号，各司其职

记号	读法	含义
$>$	大于	$a$比$b$大
$<$	小于	$a$比$b$小
$\ge$	大于或等于	$a>b$与$a=b$至少一个成立
$\le$	小于或等于	$a<b$与$a=b$至少一个成立
$\neq$	不等于	$a>b$与$a<b$至少一个成立

$\ge$读作"大于或等于"，也可读作"不小于"；只要"大于"与"等于"二者居其一，$\ge$就成立。

示例 $3\ge2$成立（因为$3>2$）；$3\ge3$也成立（因为$3=3$）。
注意 $\ge$是"或"的关系，不是"且"：$a\ge b$只要求"大于"与"等于"中有一个成立，不要求同时成立。

（5）性质 1：传递性——不等号可以"接力"
若$a>b$且$b>c$，则$a>c$。这就是传递性。

为什么成立？看数轴：$a$在$b$右边，$b$在$c$右边，则$a$必然在$c$右边。

也可以算：$(a-b)+(b-c)=a-c$，两个正数相加仍是正数，故$a-c>0$。

示例 $5>3$且$3>1$，则$5>1$。就像接力赛：第一棒领先，第二棒又更快，总趋势自然领先。
示例 甲比乙高，乙比丙高，则甲一定比丙高。

注意 传递要求"首尾相连"。$a>b$且$c>b$（都与$b$比）推不出$a$与$c$谁大：甲比乙高、丙比乙高，甲和丙谁高可不知道。
注意 把$>$换成$\ge$，传递性依然成立：$a\ge b$且$b\ge c$，则$a\ge c$。

（6）性质 2：可加性——两边同加同一个数，方向不变
若$a>b$，则$a+c>b+c$（$c$为任意实数）。这就是可加性。

为什么成立？$(a+c)-(b+c)=a-b>0$：差的符号没变，大小关系自然没变。

天平类比：$a>b$表示天平左边比右边重；两边各放上同样重$c$的砝码，倾斜方向当然不变。

$c$可以是任何数：正数、负数、零都行。

示例 $7>4$：两边同加$10$得$17>14$；两边同加$-2$得$5>2$。方向都不变。

由可加性立刻得到一个重要推论——移项：$a+c>b$与$a>b-c$等价（两边同加$-c$）。以后解不等式，把项从一边移到另一边要变号，依据就在这里。

（7）性质 3：可乘性——乘正数不变号，乘负数必须变号
若$a>b$且$c>0$，则$ac>bc$；若$a>b$且$c<0$，则$ac<bc$。这就是可乘性。

先看$c>0$：$(a-b)\cdot c$是正数乘正数，仍为正，故$ac-bc>0$，方向不变。

示例 $3>1$，两边同乘$2$：$6>2$，方向不变。

再看$c<0$：$(a-b)\cdot c$是正数乘负数，得负，故$ac-bc<0$，方向反转。

示例 $3>1$，两边同乘$-1$：得$-3$与$-1$。数轴上$-3$在$-1$的左边，所以$-3<-1$——方向反了！

为什么乘负数会"翻个"？把数轴想象成以$0$为镜面的镜子：乘$-1$就是把每个点翻到对面，$3$翻到$-3$，$1$翻到$-1$。一照镜子，左右互换，原来在右边的点翻到了左边，于是"大"变成"小"。

$c$的符号	结论	不等号方向
$c>0$	$ac>bc$	不变
$c<0$	$ac<bc$	变号
$c=0$	$ac=bc=0$	不再是严格不等式

注意（最易错） 两边同乘（或同除）一个负数，必须把不等号反过来！例如$4>2$，两边同除$-2$，得$-2<-1$。很多人错在：等式两边乘负数不用变号（$a=b$时两边乘$-1$仍相等），于是顺手把不等号也保留了——等式与不等式在这里分道扬镳。

（8）性质 4：同向可加——两个同向不等式相加
若$a>b$且$c>d$，则$a+c>b+d$。这就是同向可加。

为什么成立？$(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)$：两个正数相加仍是正数。

示例 $5>3$且$4>1$，则$5+4>3+1$，即$9>4$。
示例 两场考试，甲每场都比乙高，总分自然比乙高。

注意 1 必须同向才能相加。$a>b$且$c<d$不能套用：$5>3$且$1<4$，但$5+1=6<3+4=7$，结论反了。
注意 2 要推出严格的$>$，两边都必须是严格不等式。若$a\ge b$且$c\ge d$，只能推出$a+c\ge b+d$。例如$3\ge3$且$2\ge2$，得$5\ge5$，取到等号。
注意 3 同向只可加，不可减。$a>b$且$c>d$推不出$a-c>b-d$：$5>3$且$4>1$，但$5-4=1<3-1=2$，结论反了。

（9）性质 5：同正可乘——两个"正数"不等式相乘
若$a>b>0$且$c>d>0$，则$ac>bd$。这就是同正可乘。

为什么成立？分两步：

• 由$a>b$且$c>0$，用性质 3 得$ac>bc$；
• 由$c>d$且$b>0$，再用性质 3 得$bc>bd$；
• 最后由传递性（性质 1）串起来：$ac>bc>bd$，故$ac>bd$。

示例 $5>3$且$2>1$：$5\times2=10>3\times1=3$。
示例 长方形的长和宽都比另一个长方形大，面积自然更大。

为什么要"都大于$0$"？因为证明中要用性质 3 的"乘正数不变号"。缺了它，结论就崩：

反例 $5>2>0$且$-1>-2$，但$5\times(-1)=-5$，$2\times(-2)=-4$，$-5<-4$，结论$ac>bd$不成立。所以"$>0$"的条件一个都不能少。

（10）性质 6：正数同向可乘方——两边同时乘方，方向不变
若$a>b>0$，$n$为正整数（$n\in\mathbb{N}_{+}$），则$a^n>b^n$。这就是正数同向可乘方。

为什么成立？$a^n$是$n$个$a$相乘，$b^n$是$n$个$b$相乘。
每取一个$a$和一个$b$比较，都是$a>b>0$，反复用性质 5（同正可乘）$n-1$次，就得到$a^n>b^n$。

示例 $3>2$：$3^2=9>4=2^2$，$3^3=27>8=2^3$。

为什么要"$a>b>0$"？缺了正数条件就崩：

反例 $-2>-3$，但$(-2)^2=4<(-3)^2=9$，结论反了。
注意 没有正数条件时，$n$为偶数结论可能反（如上例），$n$为奇数时方向才保持：$(-2)^3=-8>-27=(-3)^3$。所以"$>0$"这个条件不可省略。

（11）性质 7：正数倒数的性质——越大的正数，倒数越小
若$a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。这就是正数倒数的性质。

为什么成立？作差：

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}.$$

分子$b-a<0$（因为$a>b$），分母$ab>0$（因为$a$、$b$都为正），"负数除以正数"得负，故$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}<0$，即$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。

示例 $3>2$，则$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$（$0.33<0.5$）。
示例 把$1$块钱分给$a$个人和$b$个人：人越多，每人分得越少。

为什么要"$a>b>0$"？缺了正数条件就崩：

反例 $2>-3$，但$\frac{1}{2}>-\frac{1}{3}$（$0.5>-0.33$），结论反了。
注意 只知道$a>b$时不能贸然取倒数比较，必须保证两个数都是正数。

（12）不等式的解集与数轴表示
解不等式，就是找出所有使不等式成立的未知数的值；这些解合起来组成解集。解集常用数轴画出来，一眼看明白。

示例 不等式$x>2$的解集是$\{x\mid x>2\}$，即数轴上$2$右边的整条射线。$2$本身不满足$x>2$，所以$2$处画空心圈。
示例 不等式$x\ge2$的解集是$\{x\mid x\ge2\}$。$2$本身满足，所以$2$处画实心点。

空心圈与实心点的差别，就在"等号"二字：不含等号用空心圈，含等号用实心点。至于怎么把$x$从不等式里"解"出来，主要工具正是本节的性质 2（移项）与性质 3（乘除变号），具体操作在 0.3.2 节及后续章节展开。

（13）通向数列的桥：公差、公比与递增递减
本书的主角是数列。判断一个数列"越来越大"还是"越来越小"，靠的正是本节的知识。
等差数列：相邻两项的差是同一个常数$d$，即$a_{n+1}-a_n=d$，$d$称为公差。由定义 3：

• $d>0$：$a_{n+1}-a_n>0$，后一项总比前一项大，数列递增；
• $d<0$：后一项总比前一项小，数列递减；
• $d=0$：每一项都相等，是常数列。

等比数列：相邻两项的比是同一个常数$q$，即$a_{n+1}=a_nq$，$q$称为公比。$q$的正负直接影响数列走向：

• $q>0$：各项同号，递增递减由$q$与$1$比较决定（各项为正时，$q>1$递增、$0<q<1$递减）；
• $q<0$：正负交替出现；
• $q=1$：常数列。

判断递增递减，本质就是判断$a_{n+1}-a_n$（或$\frac{a_{n+1}}{a_n}$）的正负——这正是本节"看差的正负"与性质 3"乘负数要变号"的用武之地。完整的分类讨论留到第 1 篇。

历史背景

不等号的来历，比等号晚得多。16 世纪英国数学家雷科德（Robert Recorde，1510—1558）在 1557 年首次使用"="表示相等，理由是"再没有比两条一样长的平行线更相等的了"。在此前后，人们比较大小只能用文字"大于""小于"叙述。

$>$与$<$两个记号，一般认为由英国数学家哈里奥特（Thomas Harriot，1560—1621）首先使用，见于他身后出版的著作【待核：Harriot 首次使用$>$、$<$记号的具体论著与年份】。

$\le$与$\ge$的出现更晚，通常归功于法国数学家布盖（Pierre Bouguer）【待核：布盖首次使用$\le$、$\ge$记号的具体年份与论著】。

实数概念的历史，要追溯到无理数的发现。古希腊毕达哥拉斯学派（约公元前 5 世纪）信奉"万物皆数"，认为一切量都能表示为两个整数之比。

传说该学派的希帕索斯（Hippasus）发现单位正方形的对角线长$\sqrt{2}$无法表示成两个整数之比【待核：希帕索斯发现$\sqrt{2}$不可公度的具体史料】。传说他因泄露这个秘密而被同门抛入海中——这只是传说，未必是史实。

但这一发现确实动摇了"万物皆数"的信念，史称"第一次数学危机"。

$\sqrt{2}$为什么写不成两个整数之比？用反证法：若$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$（$p$、$q$为互质的整数），平方得$p^2=2q^2$，于是$p$必为偶数。

设$p=2k$，代入得$q^2=2k^2$，$q$也为偶数，这与"互质"矛盾。所以$\sqrt{2}$不是有理数。

无理数的英文 irrational，本意是"不能表示为两个整数之比（ratio）"的数；中文"无理数"的"理"指的正是"比"。关于中文译名"有理数""无理数"的来历，通常认为经日本转译而来【待核：中文"有理数""无理数"译名的具体来源】。

把实数严格建立起来，是 19 世纪的事。1872 年，德国数学家戴德金（Richard Dedekind，1831—1916）出版《连续性与无理数》（Stetigkeit und irrationale Zahlen），用"戴德金分割"给出了实数的严格定义。

同年，康托尔（Georg Cantor）也从另一条路构造了实数【待核：康托尔构造实数的具体论著与年份】。至此，"实数与数轴上的点一一对应"不再只是直观，而有了严格的证明。

0.3.2 比较大小的方法与幂的运算

本节前置

• 实数与不等式的基本性质

严谨定义

定义 1（幂）
设 $a$ 是任意实数，$n$ 是正整数。$n$ 个 $a$ 相乘的积记作 $a^n$，读作"$a$ 的 $n$ 次方"。其中 $a$ 称为底数，$n$ 称为指数，$a^n$ 称为 $a$ 的 $n$ 次幂。特别地，规定 $a^1 = a$。

定义 2（零指数幂）
当 $a \neq 0$ 时，规定 $a^0 = 1$，称 $a^0$ 为 $a$ 的零指数幂。

定义 3（负整数指数幂）
当 $a \neq 0$、$n$ 为正整数时，规定 $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$，称 $a^{-n}$ 为 $a$ 的负整数指数幂。

法则 1（同底数幂相乘）
设 $a$ 是任意实数，$m$、$n$ 是正整数，则 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。

法则 2（同底数幂相除）
设 $a \neq 0$，$m$、$n$ 是正整数且 $m > n$，则 $a^m \div a^n = a^{m-n}$，即 $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。

法则 3（幂的乘方）
设 $a$ 是任意实数，$m$、$n$ 是正整数，则 $(a^m)^n = a^{mn}$。

法则 4（积的乘方）
设 $a$、$b$ 是任意实数，$n$ 是正整数，则 $(ab)^n = a^n b^n$。

法则 5（作差法判据）
对任意实数 $a$、$b$，恒有：$a - b > 0 \iff a > b$；$a - b = 0 \iff a = b$；$a - b < 0 \iff a < b$。这就是作差法的依据。

法则 6（作商法判据）
当 $a > 0$、$b > 0$ 时，恒有：$\dfrac{a}{b} > 1 \iff a > b$；$\dfrac{a}{b} = 1 \iff a = b$；$\dfrac{a}{b} < 1 \iff a < b$。这就是作商法的依据。

详细讲解

（1）幂：把"连乘"缩写成一个记号

$2^3$ 表示什么？它表示 $3$ 个 $2$ 相乘：$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$。这里的 $2$ 是底数，$3$ 是指数。

示例 $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$；$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$。

特别地，$a^1 = a$：只"乘一次"，结果就是它自己。

注意 $2^3 = 8$，而 $2 \times 3 = 6$，两者完全不同。$a^n$ 是"连乘 $n$ 次"，不是"乘以 $n$"。

（2）底数与指数：谁是谁

$2^3$ 与 $3^2$ 的答案一样吗？$2^3 = 8$，$3^2 = 9$，不一样。

底数是"被乘的那个数"，指数是"乘了几次"，两者地位不同，不能互换。

示例 $2^4 = 16$，$4^2 = 16$——碰巧相等，这是巧合，不能当规律。

注意 底数为负数时，结果的符号看指数的奇偶：$(-2)^3 = -8$（奇次幂为负），$(-2)^2 = 4$（偶次幂为正）。

（3）同底数幂相乘：指数相加

先算一个具体的：$2^3 \cdot 2^2$ 等于多少？把幂写开：

$$2^3 \cdot 2^2 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 2^{3+2}.$$

$3$ 个 $2$ 再乘 $2$ 个 $2$，一共 $3 + 2 = 5$ 个 $2$。这就是同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$$

"同底数"三个字是关键：底数必须一样，指数才能相加。

注意 $2^3 \cdot 3^2$ 底数不同（$2$ 与 $3$），不能把指数相加成 $2^5$ 或 $3^5$。底数不同时只能老老实实算：$2^3 \cdot 3^2 = 8 \times 9 = 72$。

（4）同底数幂相除：指数相减

先算具体的：$2^5 \div 2^3$ 等于多少？写开约分：

$$\frac{2^5}{2^3} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2} = 2 \times 2 = 2^2 = 2^{5-3}.$$

分子 $5$ 个 $2$，分母 $3$ 个 $2$，约掉后剩 $5 - 3 = 2$ 个。同底数幂相除：底数不变，指数相减。

$$a^m \div a^n = a^{m-n}.$$

这条法则有两个条件，少了哪一个都会出错。

第一个条件 $a \neq 0$：$a = 0$ 时，$0^m \div 0^n$ 的分母是 $0$，而除以 $0$ 没有意义。

第二个条件 $m > n$：目前指数只允许正整数，$m - n$ 必须是正整数。若 $m = n$ 或 $m < n$ 怎么办？这正是下面零指数与负指数的来由。

（5）零指数与负指数：把指数扩展到全体整数

先看 $m = n$ 的情形。$2^5 \div 2^5$ 分子分母完全相同，商显然是 $1$。可若按"指数相减"写，应得 $2^{5-5} = 2^0$。于是约定 $2^0 = 1$。

对一般情形，规定 $a^0 = 1$（$a \neq 0$）。少了 $a \neq 0$ 会怎样？$0^n = 0$，$0 \div 0$ 无意义，所以 $0^0$ 不能定义。

再看 $m < n$ 的情形。$2^2 \div 2^5$ 写开约分：

$$\frac{2^2}{2^5} = \frac{2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2^3}.$$

按"指数相减"应写成 $2^{-3}$，于是约定 $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3}$。

对一般情形，规定 $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$（$a \neq 0$，$n$ 为正整数）。

示例 $2^0 = 1$，$10^{-1} = \dfrac{1}{10} = 0.1$，$2^{-2} = \dfrac{1}{4}$。

注意 负指数不是"负数个相乘"，它只是 $\dfrac{1}{a^n}$ 的另一种写法。$a \neq 0$ 的条件必须保留：$a = 0$ 时 $a^n = 0$，而 $\dfrac{1}{0}$ 无意义。

（6）幂的乘方：指数相乘

$(2^3)^2$ 是什么意思？括号里的 $2^3$ 再整体平方：

$$(2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 2^{3 \times 2}.$$

括号里 $3$ 个 $2$，外面乘 $2$ 次，一共 $3 \times 2 = 6$ 个 $2$。幂的乘方：底数不变，指数相乘。

$$(a^m)^n = a^{mn}.$$

注意 $a^m \cdot a^n$ 与 $(a^m)^n$ 别混：前者是"两个幂相乘"，指数相加；后者是"幂再乘方"，指数相乘。数字验证：$2^3 \cdot 2^2 = 2^5 = 32$，$(2^3)^2 = 2^6 = 64$，结果不同。

（7）积的乘方：乘方分给每个因式

$(2 \times 3)^2$ 与 $2^2 \times 3^2$ 相等吗？都算算看：$(2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$；$2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$。相等。

道理也简单：$(ab)^n$ 是 $n$ 对 $(a \times b)$ 相乘，把每对的 $a$ 归拢、$b$ 归拢，就是 $n$ 个 $a$ 乘 $n$ 个 $b$。

$$(ab)^n = a^n b^n.$$

注意 乘方只"分配"给乘法，不分配给加法：$(a + b)^n \neq a^n + b^n$。例如 $(1 + 2)^2 = 9$，而 $1^2 + 2^2 = 5$，差得远。

（8）作差法：比大小就是看差的符号

要比较 $a$ 与 $b$ 谁大，可以比较 $a - b$ 的符号——这正是前置节不等式性质（同加同减不变号）的直接应用。

作差法分三步：

1. 作差：写出 $a - b$；
2. 变形：因式分解、配方、通分，把差变成符号容易判断的式子；
3. 定号：判断变形结果的符号，得出大小结论。

示例 比较 $x^2 + 1$ 与 $2x$ 的大小。作差：$(x^2 + 1) - 2x = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$。任何实数的平方非负，所以 $(x - 1)^2 \geq 0$，即 $x^2 + 1 \geq 2x$，等号在 $x = 1$ 时取得。

（9）定号的核心工具：配方与 $a^2 \geq 0$

"定号"靠什么？靠一条铁律：任何实数的平方都非负，即 $a^2 \geq 0$，且 $a^2 = 0$ 当且仅当 $a = 0$。

配方就是把含 $x$ 的二次式凑成"平方加常数"的样子。依据是完全平方公式 $(x - h)^2 = x^2 - 2hx + h^2$，反着用：一次项系数取一半，再平方，补上凑成完全平方。

示例 对 $x^2 - 4x + 5$：一次项系数是 $-4$，一半是 $-2$，平方得 $4$，于是 $x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \geq 1$，恒为正。

（10）$a^2 + b^2 \geq 2ab$：配方的一次实战

把 $(a - b)^2 \geq 0$ 展开：

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \geq 0,$$

移项得 $a^2 + b^2 \geq 2ab$，等号当且仅当 $a = b$ 时成立。

示例 $a = 3$、$b = 4$：$a^2 + b^2 = 25$，$2ab = 24$，确实 $25 \geq 24$。

这条不等式是后面"基本不等式"的雏形，先记下结论，正篇再展开。

（11）作商法：两数皆正时，比一比商

当 $a > 0$、$b > 0$ 时，比较 $a$ 与 $b$ 的大小，可以改看 $\dfrac{a}{b}$ 与 $1$ 的大小。理由是：$\dfrac{a}{b} > 1$ 两边同乘正数 $b$，不等号方向不变，得 $a > b$。

$$\frac{a}{b} > 1 \iff a > b; \quad \frac{a}{b} = 1 \iff a = b; \quad \frac{a}{b} < 1 \iff a < b.$$

示例 比较 $\frac{7}{8}$ 与 $\frac{8}{9}$：作商得 $\dfrac{\frac{7}{8}}{\frac{8}{9}} = \dfrac{7 \times 9}{8 \times 8} = \dfrac{63}{64} < 1$，所以 $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$。

注意 作商法只适用于正数，关键是 $b > 0$。若 $b < 0$，两边同乘 $b$ 要变号：$\dfrac{a}{b} > 1 \iff a < b$。例如 $a = 3$、$b = -2$ 时，$\dfrac{3}{-2} = -1.5 < 1$，但 $3 > -2$，方向确实反了。

（12）作差法与作商法：怎么选

方法	适用情形	判据	常用变形
作差法	任意实数，最通用	$a - b > 0$ 即 $a > b$	因式分解、配方、通分
作商法	两数皆正	$\dfrac{a}{b} > 1$ 即 $a > b$	约分、化简

拿不准时用作差法，永远安全；作商法要先确认两数都是正数。

（13）通向数列的桥：幂运算与等比数列

正篇要学的等比数列，第 $n$ 项公式是 $a_n = a_1 q^{n-1}$——里面就是幂运算：$q$ 连乘 $n - 1$ 次。

$q^n$ 的大小随 $n$ 怎么变，取决于 $q$：

• $|q| > 1$：$q^n$ 的绝对值随 $n$ 增大而增长；
• $|q| < 1$：$q^n$ 的绝对值随 $n$ 增大而衰减；
• $q = 1$：恒为 $1$；$q = -1$：在 $1$ 与 $-1$ 之间摆动。

示例 $2^1 = 2$，$2^2 = 4$，$2^3 = 8$：增长；$\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$，$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$：衰减。

这一条先点到为止，详细的等比数列理论留到第 1 篇第 3 章再展开。

历史背景

幂的右上角记号 $a^n$ 出自法国数学家笛卡尔（René Descartes）。1637 年，他在《方法论》的附录《几何学》中，把连乘的积写成"底数右上角加一个小数字"的形式，例如 $a^3$ 表示 $a \times a \times a$【待核：笛卡尔在《几何学》中使用 $a^n$ 记号的具体情形，以及他是否同时使用 $aa$ 等写法】。这种写法比此前"把 $a$ 连写 $n$ 遍"的表达简洁得多，很快流传开来。

"指数"一词来自拉丁语 exponent，原意是"摆出来、显示出来"——指数把"乘了几次"直接显示在右上角【待核："指数"一词的引入者与具体出处】。

起初指数只取正整数。把指数扩展到零和负数，是 17 世纪的事：英国数学家沃利斯（John Wallis）在著作中讨论了零指数与负指数【待核：沃利斯讨论零指数、负指数的具体论著与年份】；牛顿（Isaac Newton）在 1676 年的信件中把指数推广到分数与负数的情形【待核：牛顿 1676 年信件中推广指数的具体内容】。这些推广起初只是"约定"，经过长期使用，$a^0 = 1$、$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ 才成为公认的规则。

中文"幂"字古义指覆盖器物的巾帛，后来在数学中引申出"乘方"的意思【待核：中文"幂"从"覆盖之巾"引申为"乘方"含义的具体历史过程】。今天我们把 $a^n$ 称作"$a$ 的 $n$ 次幂"，正是沿用这套叫法。

第1篇 数列

第1章 数列的概念

本章导语

本章回答“数列是什么”：从排队、按年存钱等具体情境抽象出数列的定义，并学习它的各种表示法（列表、图象、通项公式、递推公式）。这是全书真正的起点。

本章结构

• 1.1.1 数列的概念与表示 —— 数列定义、项、通项公式与三种表示法
• 1.1.2 数列的分类、递推公式与单调性 —— 数列分类、递推公式与增减性判断

1.1.1 数列的概念与表示

本节前置

• 函数的概念与表示
• 集合的概念与表示
• 实数与不等式的基本性质

严谨定义

定义 1（数列）
按照确定的顺序排列的一列数

$$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$$

称为一个数列，通常记作$\{a_n\}$。

定义 2（项、首项与第$n$项）
数列中的每一个数都称为数列的项。

第$1$项$a_1$称为首项；第$n$项$a_n$称为数列的第$n$项，也叫一般项。这里的$n$可以取任意正整数。

定义 3（通项公式）
设$\{a_n\}$是一个数列。如果存在一个含$n$的式子$f(n)$，使得对每一个正整数$n$都有$a_n = f(n)$，那么称$a_n = f(n)$为数列$\{a_n\}$的通项公式。

定义 4（数列是函数）
数列$\{a_n\}$是定义在正整数集$\mathbb{N}_{+} = \{1, 2, 3, \ldots\}$上的函数：自变量是$n$，函数值是第$n$项$a_n$。

对应关系写出来就是

$$a_n = f(n), \quad n \in \mathbb{N}_{+}.$$

定义 5（前$n$项和）
设$\{a_n\}$是一个数列。把它的前$n$项依次相加得到的和

$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$

称为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，其中$n$为正整数。

详细讲解

（1）三个生活例子：数列从哪儿来
电影院第$1$排有$12$个座位，往后每一排都比前一排多$2$个，各排座位数是

$$12, 14, 16, 18, 20, \ldots$$

每年年初存入银行$10000$元，年利率为$3\%$，各年末的本息和是

$$10000, 10300, 10609, \ldots$$

一个细胞每$1$小时分裂一次，数量变为原来的$2$倍，各小时末的细胞数是

$$1, 2, 4, 8, 16, \ldots$$

这三列数都排成了一条线：谁排第$1$、谁排第$2$、谁排第$3$，一清二楚。

这样"按确定顺序排好的一列数"，就是数列。

（2）顺序是关键：数列不是集合
第 0 篇讲过，集合有确定性、互异性、无序性三条性质。数列恰好站在集合的对立面：

• 集合无序：$\{1, 2, 3\}$与$\{3, 2, 1\}$是同一个集合；
• 数列有序：$1, 2, 3$与$3, 2, 1$是两个不同的数列；
• 集合元素互异：同一个对象只能出现一次；
• 数列允许重复：$1, 1, 1, \ldots$这种每一项都相同的数列（常数列）完全合法。

记号也要分清：本书用$\{a_n\}$表示数列，即$\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, \ldots$；而$\{1, 2, 3\}$这样的列举仍表示集合。

比较	数列	集合
顺序	有顺序，换顺序就是另一个数列	无顺序，换顺序还是同一个集合
重复	允许重复，如$1, 1, 1, \ldots$	元素互异，不重复计入
记号	$\{a_n\}$（本书专指数列）	$\{1, 2, 3\}$等列举式

（3）项、首项、第$n$项：给数列"报数"
把数列想成一队排好的人，每个位置站一个人，每个位置放一个数：

• 项：数列中的每一个数，就像队伍里的每一个人；
• 首项$a_1$：第$1$个位置上的数，即队伍里的第$1$个人；
• 第$n$项$a_n$：第$n$个位置上的数。$n$取任意正整数都行，所以$a_n$也叫一般项，它"一般地"代表任意一项。

下标$n$就是位置号：$a_1$、$a_2$、$a_3$读作"a一""a二""a三"，$a_n$读作"a恩"，$a_{n+1}$读作"a恩加一"。

注意 $a_{n+1}$的下标是一整个$n+1$，写的时候必须用花括号括起来。它和$a_n + 1$完全不同：$a_{n+1}$是"第$n+1$项"，$a_n + 1$是"第$n$项再加$1$"。

示例 数列$1, 2, 4, 8, 16, \ldots$：首项$a_1 = 1$，第$3$项$a_3 = 4$，第$5$项$a_5 = 16$。

本书讨论的数列默认指项数无限多的数列；按项数的多少给数列分类，是 1.1.2 节的内容。

（4）数列是定义在正整数集上的函数
第 0 篇把函数说成"投一个$x$、出一个$y$"的机器。数列正是"自变量被限死"的那种函数：

• 自变量$n$只能取正整数：$n \in \mathbb{N}_{+} = \{1, 2, 3, \ldots\}$，不能取$0$，不能取$\dfrac{1}{2}$，也不能取负数；
• 函数值就是第$n$项：$a_n = f(n)$；
• 对应关系就是"第$n$项怎么算"。

示例 数列$1, 4, 9, 16, \ldots$对应函数$f(n) = n^2$，即$a_n = n^2$。

从函数观点看，数列的值域就是各项组成的集合$\{a_1, a_2, a_3, \ldots\}$。

为什么这个观点重要？因为函数的全部工具——解析式、图象、单调性——都能搬到数列上。高考大纲明确要求"理解数列是定义在正整数集上的函数"，本节后面与 1.1.2 节都要反复用它。

（5）三种表示法：列表、图象、通项公式
与函数一样，数列也有三种表示法（"列表法""图象法"沿用前置篇的称呼）：

• 列表法：画一张两行表格，第一行写位置号$n$，第二行写对应的项$a_n$；
• 图象法：在平面直角坐标系中描出点$(1, a_1)$、$(2, a_2)$、$(3, a_3)$、$\ldots$；
• 解析法（通项公式）：写出$a_n = f(n)$。

以数列$1, 2, 4, 8, 16, \ldots$（$a_n = 2^{n-1}$）为例，列表法写出来是：

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_n$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

三种表示法各有用处：

表示法	怎么表示	优点与局限
列表法	表格：上行$n$、下行$a_n$	直观，但只能看到有限几项
图象法	描孤立点$(n, a_n)$	一眼看出变化趋势，读数却是近似值
解析法（通项公式）	写出$a_n = f(n)$	能算任意一项，最常用

（6）图象是"孤立的点"，不是连线
函数$y = 2^{x-1}$的图象是一条连续的曲线；数列$1, 2, 4, 8, \ldots$的图象只是这条曲线上$x = 1, 2, 3, \ldots$处的那些孤立的点。

原因只有一条：自变量$n$只能取正整数，点与点之间（比如$(2, 2)$与$(3, 4)$之间）没有别的点了。

注意 函数图象可以画成连续的线（自变量连续取值），数列图象永远只是一些孤立的点（自变量只取正整数）。看到数列图象，先想"点，不是线"。

（7）通项公式：直接算出任意一项
有了通项公式$a_n = f(n)$，想算第$k$项，把$n = k$代进去就行，不必从第$1$项开始一项一项推。

示例 $a_n = 2^{n-1}$：$a_1 = 2^0 = 1$，$a_4 = 2^3 = 8$，$a_{10} = 2^9 = 512$。

示例 $a_n = \dfrac{n}{n+1}$：$a_1 = \dfrac{1}{2}$，$a_3 = \dfrac{3}{4}$，$a_{100} = \dfrac{100}{101}$。

但要注意：不是每个数列都有通项公式。例如质数按从小到大排成的数列

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$$

至今没有简洁的通项公式。"数列存在"与"能找到通项公式"是两回事：数列一定存在，通项公式不一定找得到。

（8）"找通项"不唯一：前几项定不下通项
给数列的前几项，让你"找"通项公式，答案不唯一。

示例 前$4$项是$1, 2, 3, 4$的数列，可以取$a_n = n$，也可以取$a_n = n + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$。
当$n = 1, 2, 3, 4$时，$(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 0$，所以前$4$项仍是$1, 2, 3, 4$；
但第$5$项：$n = 5$时$a_5 = 5 + 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 29$，不再是$5$。

所以"由前几项找通项"只能得到一个可能的答案，不能保证唯一。

考试中"根据前几项写出一个通项公式"，只要写出一个符合要求的式子即可；若题目说"求通项公式"，通常默认按最自然的规律来，如$1, 2, 3, 4, \ldots$就取$a_n = n$。

（9）前$n$项和$S_n$：先认识记号
把数列的前$n$项依次加起来，得到一个重要的记号——前$n$项和：

$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.$$

$S_n$读作"前n项和"（$S$取自英文 sum，意为"和"）。$n$取多少，就加到第几项：

示例 数列$1, 2, 4, 8, \ldots$：$S_1 = 1$，$S_2 = 1 + 2 = 3$，$S_3 = 1 + 2 + 4 = 7$，$S_4 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$。

特别地，$S_1 = a_1$：前$1$项的和就是第$1$项本身。

本节只引入记号$S_n$与它的含义；把$S_n$写成不含省略号的公式（求和公式），是第 2 章、第 3 章的任务。

（10）$a_n$与$S_n$：两类不同的对象
$a_n$是"第$n$项"——队伍里第$n$个人；$S_n$是"前$n$项的和"——队伍前$n$个人加起来的总数。

两者记号相近，含义完全不同，务必分清。

示例 数列$1, 2, 4, 8, \ldots$：$a_3 = 4$（第$3$项是$4$），而$S_3 = 1 + 2 + 4 = 7$（前$3$项的和是$7$）。写成$a_3 = 7$或$S_3 = 4$都是错的。

历史背景

数列的观念非常古老，比"函数"早了几千年。

古埃及人留下的纸草书中就有按规律排列的数列。著名的莱因德纸草书（约公元前 1650 年）里有这样一道题：7 座房子、每座房子有 7 只猫、每只猫捉 7 只老鼠、每只老鼠吃 7 穗麦子、每穗麦子产 7 斗粮食【待核：莱因德纸草书中该题的具体编号】。

这些数字依次是$7, 49, 343, 2401, 16807$，后一个都是前一个的 7 倍，是一列按固定倍数增长的数。

同一份纸草书里还有"把 100 块面包分给 5 个人，每人依次多分同样多的块数"的问题【待核：该题的具体编号】。

古巴比伦人的泥板上也有类似的记录，例如按固定比例增长的数量、平方数$1, 4, 9, 16, \ldots$等【待核：具体泥板的编号与年代】。

13 世纪初，意大利数学家斐波那契（Leonardo of Pisa，Fibonacci）在《算盘书》（Liber Abaci，1202 年）中提出著名的"兔子问题"：一对小兔满一个月后成熟，此后每月生一对新兔，问一年后共有多少对兔子【待核：兔子问题的原题表述】。

逐月兔子对数为$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$，从第 3 项起每一项都等于前两项之和。这个数列后来被称为斐波那契数列，至今仍在数学与自然界（如向日葵种子的排列、花瓣数）中反复出现。

数列的"函数观"是近代的事：19 世纪函数概念严格化之后，数学家才把数列明确看作定义在正整数集上的函数【待核：提出这一观点的具体人物与年代】。我国现行教材与高考大纲都采用这一观点。

1.1.2 数列的分类、递推公式与单调性

本节前置

• 数列的概念与表示
• 函数的图象与单调性
• 比较大小的方法与幂的运算

严谨定义

定义 1（有穷数列与无穷数列）
按项数分类：项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列。

定义 2（递增数列）
若数列 $\{a_n\}$ 对一切正整数 $n$ 都满足 $a_{n+1} > a_n$，则称 $\{a_n\}$ 为递增数列。

定义 3（递减数列）
若数列 $\{a_n\}$ 对一切正整数 $n$ 都满足 $a_{n+1} < a_n$，则称 $\{a_n\}$ 为递减数列。

定义 4（常数列）
若数列 $\{a_n\}$ 对一切正整数 $n$ 都满足 $a_{n+1} = a_n$，则称 $\{a_n\}$ 为常数列。

定义 5（摆动数列）
若数列 $\{a_n\}$ 从第 $2$ 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，则称 $\{a_n\}$ 为摆动数列。

定义 6（递推公式）
已知数列的首项（或前几项），若存在一个关系式，用前一项（或前几项）表示后一项，则这个关系式称为该数列的递推公式。

定义 7（作差判断准则）
对数列 $\{a_n\}$，若对一切正整数 $n$ 都有 $a_{n+1} - a_n > 0$，则 $\{a_n\}$ 为递增数列；若都有 $a_{n+1} - a_n < 0$，则为递减数列；若都有 $a_{n+1} - a_n = 0$，则为常数列。

详细讲解

（1）认识新对象，先分类
上一节认识了"什么是数列"。本节要回答两个问题：数列有哪些种类？相邻项之间有什么关系？分类是认识新对象的第一步——就像把人按性别、年龄分成不同群体，数列也可以从不同角度分类。

按项数分，有有穷数列与无穷数列：

示例 $1, 3, 5$ 只有 $3$ 项，是有穷数列；$1, 3, 5, 7, \ldots$ 的项写不完，是无穷数列。

按增减情况分，有四种基本类型：

类型	严格条件	例子
递增数列	对所有 $n$，$a_{n+1} > a_n$	$1, 2, 3, 4, \ldots$
递减数列	对所有 $n$，$a_{n+1} < a_n$	$4, 3, 2, 1, \ldots$
常数列	对所有 $n$，$a_{n+1} = a_n$	$5, 5, 5, \ldots$
摆动数列	有些项大于前一项，有些项小于前一项	$1, -1, 1, -1, \ldots$

示例 $1, -1, 1, -1, \ldots$：第 $2$ 项 $-1$ 小于第 $1$ 项 $1$，第 $3$ 项 $1$ 又大于第 $2$ 项 $-1$，如此交替，属摆动数列。

（2）"对所有 $n$ 都成立"——一字都不能少
递增、递减、常数列的定义里，都要求"对一切正整数 $n$"成立。这意味着从第 $1$ 项到第 $2$ 项、第 $2$ 项到第 $3$ 项……每一对相邻项都要满足条件，一处都不许例外。

注意 判断递增必须所有 $n$ 都成立，不能只验前几项。例如 $1, 2, 3, 2, 5$：前两项在增大，但第 $3$ 项到第 $4$ 项变小了，所以它不是递增数列。

（3）递推公式：像多米诺骨牌
回忆上一节的例子：$a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = a_n + 2$。其中 $a_{n+1} = a_n + 2$ 就是一个递推公式：它告诉你"后一项比前一项多 $2$"，即相邻两项之间的邻居关系。

递推公式像多米诺骨牌：推倒第一块，后面依次倒下。第一块骨牌是初始值（首项 $a_1$），倒下规则是递推公式。由 $a_1 = 1$ 和 $a_{n+1} = a_n + 2$ 得 $a_2 = 1 + 2 = 3$；再由 $a_2$ 得 $a_3 = 3 + 2 = 5$；一块接一块，数列 $1, 3, 5, 7, \ldots$ 被完全确定。

注意 递推公式要连同初始值才确定一个数列。只有 $a_{n+1} = a_n + 2$ 而不知道 $a_1$，数列无法确定；只给 $a_1 = 1$ 而不给递推公式，后面的项也无法推出。两者缺一不可。

递推公式的一般形态是 $a_{n+1} = f(a_n)$：后一项是前一项经过某个运算 $f$ 得到。有时要用前两项表示后一项，如 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$，这时初始值要给出两项。

注意 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 别写反。$a_{n+1} = a_n + 2$ 意为"后一项等于前一项加 $2$"；写成 $a_n = a_{n+1} + 2$ 就是"前一项等于后一项加 $2$"，描述的完全是另一个数列。

（4）递推公式与通项公式：邻居关系 vs 直接公式
通项公式 $a_n = 2n - 1$ 可以直接算出第 $n$ 项：想算第 $100$ 项，代入 $n = 100$ 即得 $199$。递推公式则要"从头推起"：想算第 $100$ 项，得从 $a_1$ 出发推 $99$ 步。

	递推公式	通项公式
给的信息	邻居关系：相邻项怎么变	直接公式：第 $n$ 项直接算
求第 $100$ 项	从首项逐项推	代入 $n = 100$
例子	$a_{n+1} = a_n + 2$	$a_n = 2n - 1$

注意 递推公式不唯一。同一个数列可以写成 $a_{n+1} = a_n + 2$，也可以写成 $a_{n+1} - a_n = 2$，形式不同，说的都是同一件事。

只给前几项时，通项公式也可能不唯一。只给 $1, 3, 5, 7$ 这四项，$a_n = 2n - 1$ 符合；但还能构造出别的通项公式，同样以这四项开头。所以"由前几项猜通项"得到的只是猜想，必须再验证。

（5）由递推公式求通项：先观察、再猜想、后证明
已知 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + 2$，如何求通项公式？

第一步观察：列出前几项，$a_1 = 1$，$a_2 = 3$，$a_3 = 5$，$a_4 = 7$。
第二步猜想：$1, 3, 5, 7, \ldots$ 是连续的奇数，猜想 $a_n = 2n - 1$。
第三步验证：代入 $n = 1$ 得 $1$，代入 $n = 2$ 得 $3$，都对。但只验几项不够，严格验证要用数学归纳法，在后续章节学习。

注意 这是朴素版的"先观察、再猜想、后证明"。系统方法——累加、累乘、构造——将在第 5 章正式展开，本节先学会"列前几项找规律"这个基本思路。

（6）数列的单调性：作差法与图象直觉
判断数列的增减，最直接的方法是作差法：算 $a_{n+1} - a_n$，与 $0$ 比大小。这正是前置篇"比较大小的方法"中学过的作差比较。

示例 判断 $a_n = 2n + 1$ 的单调性。$a_{n+1} - a_n = [2(n+1) + 1] - (2n + 1) = 2 > 0$，对一切 $n$ 成立，故数列递增。
示例 判断 $a_n = \dfrac{1}{n}$ 的单调性。$a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n(n+1)} < 0$，对一切 $n$ 成立，故数列递减。

几何直觉：把点 $(n, a_n)$ 画在坐标平面上，递增数列的点依次上升，递减数列的点依次下降，常数列的点在同一条水平线上。

（7）与函数单调性的联系与区别
数列是定义在正整数上的特殊函数（上一节学过"数列是特殊的函数"），函数图象上升对应函数递增，数列的"点依次上升"对应数列递增，直觉是相通的。区别在于：

	函数单调性	数列单调性
定义域	区间内的所有实数	正整数 $1, 2, 3, \ldots$
条件	区间内任取 $x_1 < x_2$ 都成立	对每个正整数 $n$，$a_{n+1} > a_n$

数列单调性是"对每个正整数 $n$"成立的离散版本：只在孤立的点上比较，点与点之间的数不存在。判断用的作差法，与前置篇证明函数单调性时比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的作差法同源，只是把 $x_1$、$x_2$ 换成了相邻的 $n$ 与 $n+1$。

（8）斐波那契数列：递推公式的经典示范
斐波那契数列由两条初始值和一条递推公式完全确定：

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \ (n \geq 1)$$

逐项推出：$a_3 = a_2 + a_1 = 2$，$a_4 = a_3 + a_2 = 3$，$a_5 = a_4 + a_3 = 5$，……得到

$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$$

只靠"前两项相加得后一项"这一条规则，就生成了整个数列；它的历史由来见本节末尾的"历史背景"。

历史背景

（1）斐波那契与《算盘书》
斐波那契（Fibonacci，本名列奥纳多·皮萨诺，意大利比萨人）于 1202 年出版《算盘书》（拉丁文 Liber Abaci，又译《计算之书》）。书中提出著名的兔子问题：一对兔子每月生一对小兔，小兔出生两个月后又能生小兔，问一年后共有多少对兔子？逐月计数得到的对数恰为 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$，正是斐波那契数列。《算盘书》还把阿拉伯数字与十进制计数法介绍到欧洲，影响深远。

（2）递推思想的古代起源
"用前面几项推出后面一项"的思想非常古老。古印度数学家研究诗歌音节排列的计数时，已出现与斐波那契数列相同的数【待核：古印度相关文献的具体年代与人物】。19 世纪法国数学家卢卡斯（Édouard Lucas）设计了著名的"汉诺塔"（河内塔）谜题，其最少移动次数满足递推式 $T_1 = 1$，$T_{n+1} = 2T_n + 1$【待核：卢卡斯提出汉诺塔的确切年代】。谜题背景的"印度神庙传说"是虚构故事，但递推关系本身是真实的。

第2章 等差数列

本章导语

本章研究最重要的数列之一——等差数列：相邻两项之差恒为常数。从定义出发推出通项公式与前 n 项和公式，并总结常用性质，为求和与综合应用打基础。

本章结构

• 1.2.1 等差数列的定义与通项公式 —— 等差定义、公差、通项公式与一次函数关系
• 1.2.2 等差数列的前 n 项和与性质 —— 前 n 项和公式、倒序相加推导与常用性质

1.2.1 等差数列的定义与通项公式

本节前置

• 数列的概念与表示
• 数列的分类、递推公式与单调性
• 实数与不等式的基本性质

严谨定义

定义 1（等差数列）
设数列 $\{a_n\}$ 满足：从第 $2$ 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，则称 $\{a_n\}$ 为等差数列。
用递推式严格表述：存在常数 $d$，使对一切 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 都有

$$a_{n+1}-a_n=d,$$

也等价于 $a_n-a_{n-1}=d$（$n\ge2$）。

定义 2（公差）
等差数列中那个"同一个常数"称为公差，记作 $d$。公差与 $n$ 无关，是刻画整个数列"步长"的固定参数。

定理 1（等差数列的通项公式）
设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$，则对任意 $n\in\mathbb{N}_{+}$，

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

证明梗概（递推展开）：由定义逐项代入，$a_2=a_1+d$，$a_3=a_2+d=a_1+2d$，归纳可得 $a_n=a_1+(n-1)d$。
证明梗概（累加）：$n-1$ 个等式 $(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1})$ 左边逐项抵消得 $a_n-a_1$，右边为 $(n-1)d$，移项即得。完整推导见（5）（6）。

定理 2（由任意一项求其他项）
设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则对任意 $m,n\in\mathbb{N}_{+}$，

$$a_n=a_m+(n-m)d.$$

证明梗概：由定理 1，$a_m=a_1+(m-1)d$，$a_n=a_1+(n-1)d$，两式相减得 $a_n-a_m=(n-m)d$，移项即得。

定义 3（等差中项）
若三个数 $a,A,b$ 成等差数列，则称 $A$ 为 $a$ 与 $b$ 的等差中项。此时 $A-a=b-A$，整理得

$$2A=a+b,\qquad A=\dfrac{a+b}{2}.$$

反之，若 $2A=a+b$，则 $a,A,b$ 必成等差数列。

判定方法 1（定义法）
验证数列 $\{a_n\}$ 中任意相邻两项之差 $a_{n+1}-a_n$ 恒等于同一个常数，即 $a_{n+1}-a_n$ 与 $n$ 无关。

判定方法 2（中项法）
验证对一切 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 都有 $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$，即每一项都是它前后两项的等差中项。

详细讲解

（1）三个数列，三种"步伐"
先看三个具体数列：

• $2,5,8,11,\ldots$；
• $10,7,4,\ldots$；
• $3,3,3,\ldots$。

第一个：$5-2=3$，$8-5=3$，$11-8=3$，后一项减前一项恒为 $3$。
第二个：$7-10=-3$，$4-7=-3$，恒为 $-3$。
第三个：$3-3=0$，恒为 $0$。

共同点：相邻两项之差始终是同一个常数。这就是等差数列的本质。

（2）定义逐字读：三个关键词
"从第 $2$ 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数"，这句话有三个关键词。

第一，"从第 $2$ 项起"。第 $1$ 项没有前一项，谈不上"与前一项的差"，所以比较从 $a_2$ 与 $a_1$ 开始。

第二，"每一项"。要求每一个相邻差都相等，只检查前两项或前三项是不够的。

第三，"同一个常数"。常数不随 $n$ 变化，它有专门的名字——公差。

注意（最易错） 公差是"后一项减前一项"：$a_{n+1}-a_n$。写反成 $a_n-a_{n+1}$，$2,5,8$ 的"公差"会变成 $-3$，符号全错。

（3）公差像"每步跨的固定步长"
把数列想象成一个人在数轴上走路：$a_1$ 是出发点，公差 $d$ 是每步跨的固定步长。

走一步到 $a_1+d$（即 $a_2$），再走一步到 $a_1+2d$（即 $a_3$），每步一样长、方向不变。

走 $n-1$ 步到达 $a_n=a_1+(n-1)d$。这个类比直接通向通项公式，也解释了为什么是 $n-1$ 个 $d$：从第 $1$ 项到第 $n$ 项中间跨了 $n-1$ 步，不是 $n$ 步。

（4）公差的正负决定数列的增减
$d$ 可以是正数、负数，也可以是零，三种情况对应三种走势。理由很直接：$a_{n+1}-a_n=d$ 的正负，正是 0.3.1 节"看差的正负"判断大小的用法。

公差	相邻两项关系	走势	例子
$d>0$	$a_{n+1}>a_n$	递增	$2,5,8,11,\ldots$
$d<0$	$a_{n+1}<a_n$	递减	$10,7,4,\ldots$
$d=0$	$a_{n+1}=a_n$	常数列	$3,3,3,\ldots$

为什么 $d$ 允许是负数？因为"差"本来就可正可负，$7-10=-3$ 是合法的差。
为什么 $d=0$ 也算等差数列？因为定义只要求"差是同一个常数"，$0$ 也是常数。

（5）通项公式推导第一法：递推展开
求第 $n$ 项，从首项一步步往前推。由定义：

• $a_2=a_1+d$；
• $a_3=a_2+d=a_1+2d$；
• $a_4=a_3+d=a_1+3d$。

规律已现：$a_2$ 比 $a_1$ 多 $1$ 个 $d$，$a_3$ 多 $2$ 个，$a_4$ 多 $3$ 个，第 $n$ 项比首项多 $n-1$ 个 $d$。于是归纳出通项公式

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

示例 $2,5,8,11,\ldots$ 中 $a_1=2$，$d=3$。第 $10$ 项：$a_{10}=2+(10-1)\times3=2+27=29$；第 $100$ 项：$a_{100}=2+99\times3=299$。

注意（最易错） 公式里是 $n-1$，不是 $n$！第 $10$ 项只比第 $1$ 项多 $9$ 个公差。检验：代 $n=1$，$a_1=a_1+(1-1)d=a_1$，公式自洽；若写成 $a_n=a_1+nd$，代 $n=1$ 得 $a_1+d\ne a_1$，立刻露馅。

（6）通项公式推导第二法：累加
把 $n-1$ 个"相邻差"等式写成一列：

$$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1})=(n-1)d.$$

左边每一项都是 $d$，共 $n-1$ 项，右边是 $(n-1)d$。
再看左边：$a_2$ 与 $-a_2$ 抵消，$a_3$ 与 $-a_3$ 抵消，中间全部抵消，只剩 $a_n-a_1$。于是

$$a_n-a_1=(n-1)d,\qquad a_n=a_1+(n-1)d.$$

累加的好处：不依赖"猜规律"，把 $n-1$ 个等式直接相加一步到位，还看清了"为什么是 $n-1$ 个差"——第 $1$ 项到第 $n$ 项之间恰好隔着 $n-1$ 个间隔。这正是术语表中的累加法在等差数列上的直接应用。

（7）通项公式的变形：$a_n$ 是 $n$ 的一次函数
把通项公式改写：

$$a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d).$$

把 $n$ 当自变量、$a_n$ 当函数值，它就是关于 $n$ 的一次函数，与直线 $y=dx+(a_1-d)$ 形式完全一致。

当 $d\ne0$ 时，图象是直线 $y=dx+(a_1-d)$ 上的一系列孤立点：横坐标只能取 $n=1,2,3,\ldots$ 这些正整数，不能取分数，点与点之间不连续，但所有点都落在同一条直线上。

直线上 $n$ 每增加 $1$，纵坐标就变化 $d$——这正是 $a_{n+1}-a_n=d$，即"$n$ 每加 $1$，$a_n$ 就加 $d$"。在直线 $y=dx+(a_1-d)$ 中，这个 $d$ 正是斜率：公差就是这条直线的斜率。$d>0$ 直线向右上倾斜，$d<0$ 向右下倾斜，$d=0$ 是水平线。

注意 反过来也成立：若数列通项能写成 $a_n=kn+b$（$k,b$ 为常数，$k\ne0$），则它必是等差数列，且公差 $d=k$。这正是考纲中"等差数列与一次函数的关系"。

（8）由任意一项出发：$a_n=a_m+(n-m)d$
通项公式的起点不必是第 $1$ 项。已知第 $m$ 项 $a_m$ 与公差 $d$，从 $a_m$ 走到 $a_n$ 要跨 $n-m$ 步，每步加 $d$：

$$a_n=a_m+(n-m)d.$$

示例 等差数列中 $a_5=20$，$d=3$，求 $a_{12}$：从第 $5$ 项到第 $12$ 项跨 $12-5=7$ 步，$a_{12}=20+7\times3=41$。

$m=1$ 时它就是 $a_n=a_1+(n-1)d$，可见定理 2 是通项公式的推广。
反过来，已知任意两项 $a_m$、$a_n$，由 $a_n-a_m=(n-m)d$ 可求公差 $d=\dfrac{a_n-a_m}{n-m}$。

（9）等差中项：三数成等差的"枢纽"
若 $a,A,b$ 成等差数列，则 $A-a=b-A$。整理得 $2A=a+b$，于是

$$A=\dfrac{a+b}{2}.$$

中间那个数恰是首尾两数的平均数——这就是"中项"名字的由来。

反过来也成立：只要 $2A=a+b$，就有 $A-a=b-A$，三数必成等差。所以中项公式是判断三数是否成等差的常用工具。

示例 $2$ 与 $8$ 的等差中项是 $\dfrac{2+8}{2}=5$，而 $2,5,8$ 确实成等差数列。

注意（最易错） 中项公式是 $2A=a+b$，别丢系数 $2$ 误写成 $A=a+b$。检验：$a=b=1$ 时 $A$ 应为 $1$；若按 $A=a+b=2$，则 $1,2,1$ 中 $2-1\ne1-2$，不成等差，立即看出公式错了。

（10）判定一个数列是不是等差数列
判断 $\{a_n\}$ 是否为等差数列，常用两种方法。

定义法：直接验证任意相邻两项之差 $a_{n+1}-a_n$ 恒为同一个常数，即与 $n$ 无关。

中项法：验证对一切 $n$ 都有 $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$，即每一项都是前后两项的等差中项。

方法	验证什么	何时好用
定义法	$a_{n+1}-a_n$ 恒为常数	已给通项或递推式，直接算差
中项法	$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$	递推式里三项同时出现时

中项法为什么与定义法等价？若 $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ 恒成立，则 $a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1}$，相邻两差相等；反过来，相邻两差相等当然推出中项式。两种方法本质是同一件事的两种写法。

示例 判断 $b_n=2n+1$ 是否为等差数列。定义法：$b_{n+1}-b_n=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2$，恒为常数，故是等差数列，$d=2$。这也印证了（7）的结论：通项是一次函数 $kn+b$ 的数列必为等差数列。

历史背景

等差数列是人类最早认识的数列之一。古埃及的莱因德纸草书（约公元前 1650 年）中已有按等差分配物品的问题，如把若干面包按等差级数分给若干人【待核：莱因德纸草书中等差分配问题的具体题号与原文】。

古巴比伦的泥板文献里也保存着涉及等差序列的计算题，说明四千年前两河流域的书记员已经会处理这类问题【待核：具体巴比伦泥板的编号与问题内容】。

在中国，《九章算术》（约成书于西汉末至东汉初，公元 1 世纪前后【待核：成书年代各家说法不一】）的"衰分"章按爵位等级分配物品，等级之间相差固定数目，正是等差数列的应用【待核：《九章算术》中等差问题的具体卷目与原文】。

关于高斯的故事，流传最广的版本是这样的：相传德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）少年时，老师让全班计算 $1+2+3+\cdots+100$，高斯很快得出答案 $5050$。他把首尾配对：$1+100=101$，$2+99=101$，……共 $50$ 对，$101\times50=5050$。故事细节流传甚广，但具体经过难以确证，只能算"相传"【待核：高斯幼年求和故事的原始出处】。

"等差"二字本身就点出了概念：相邻两项的差相等。英文 arithmetic sequence（算术数列）源于希腊语 arithmos（数），古希腊数学中已有对这类数列的讨论【待核：古希腊文献中对等差级数的具体记载】。

1.2.2 等差数列的前 n 项和与性质

本节前置

• 等差数列的定义与通项公式
• 数列的概念与表示
• 实数与不等式的基本性质

严谨定义

定义 1（前 n 项和）
设数列 $\{a_n\}$，把它的前 $n$ 项加起来得到的和，称为它的前 $n$ 项和，记作 $S_n$：

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,\qquad n\in\mathbb{N}_{+}.$$

特别地，$S_1=a_1$，$S_2=a_1+a_2$。

定理 1（等差数列的前 n 项和公式）
设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$，则对任意 $n\in\mathbb{N}_{+}$，前 $n$ 项和

$$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d.$$

证明（倒序相加法，分两步）：

第一步：把 $S_n$ 正写一遍，再倒写一遍，两式相加：

$$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,$$

$$S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1,$$

$$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_n+a_1).$$

第二步：利用“与首末两项等距离的两项之和为定值”：

$$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots=a_n+a_1.$$

理由如下。第 $k$ 对是 $a_k$ 与 $a_{n+1-k}$，由通项公式（1.2.1 节定理 1），

$$a_k+a_{n+1-k}=\left[a_1+(k-1)d\right]+\left[a_1+(n-k)d\right]=2a_1+(n-1)d=a_1+a_n,$$

与 $k$ 无关，故 $n$ 对的和都等于 $a_1+a_n$。于是

$$2S_n=n(a_1+a_n),\qquad S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}.$$

最后把 $a_n=a_1+(n-1)d$ 代入，消去 $a_n$：

$$S_n=\dfrac{n\left[a_1+a_1+(n-1)d\right]}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d.$$

证毕。

定理 2（前 n 项和的二次函数形式）
展开定理 1 的第二个公式：

$$S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n.$$

当 $d\ne0$ 时，$S_n$ 是 $n$ 的二次函数，且没有常数项；当 $d=0$（常数列）时，$S_n=na_1$，退化为 $n$ 的一次函数。

性质 1（等差中项）
三个数 $a,A,b$ 成等差数列，当且仅当

$$2A=a+b.$$

这与 1.2.1 节定义 3 完全一致，本节把它作为常用性质引用。

性质 2（等距下标和）
设等差数列 $\{a_n\}$。若 $m,n,p,q\in\mathbb{N}_{+}$ 满足 $m+n=p+q$，则

$$a_m+a_n=a_p+a_q.$$

特别地，当 $m+n=2k$（$k\in\mathbb{N}_{+}$）时，

$$a_m+a_n=2a_k.$$

证明梗概：由通项公式，$a_m+a_n=2a_1+(m+n-2)d$，$a_p+a_q=2a_1+(p+q-2)d$；因 $m+n=p+q$，两式相等。特别情形取 $p=q=k$ 即得。

性质 3（片段和）
设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$。把数列每 $n$ 项截成一段，各段的和称为片段和：

$$S_n,\qquad S_{2n}-S_n,\qquad S_{3n}-S_{2n},\qquad \ldots$$

这些片段和仍成等差数列，公差为 $n^2d$。

证明梗概：第 $k+1$ 段与第 $k$ 段的对应项下标相差 $n$，由 1.2.1 节定理 2，对应项相差 $nd$；每段 $n$ 项，段和相差 $n\cdot nd=n^2d$，与 $k$ 无关。

性质 4（奇数项与偶数项）
设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则

$$S_{2n-1}=(2n-1)a_n,\qquad S_{2n}=n(a_n+a_{n+1}).$$

证明梗概：$S_{2n-1}=\dfrac{(2n-1)(a_1+a_{2n-1})}{2}$，由性质 2（$1+(2n-1)=2n$）得 $a_1+a_{2n-1}=2a_n$；$S_{2n}=\dfrac{2n(a_1+a_{2n})}{2}=n(a_1+a_{2n})$，由性质 2（$1+2n=n+(n+1)$）得 $a_1+a_{2n}=a_n+a_{n+1}$。

性质 5（S_n 与 a_n 的关系）
设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则对 $n\ge2$，

$$a_n=S_n-S_{n-1},$$

且 $a_1=S_1$。本节先点出这一关系，完整的讨论放在第 5 章。

详细讲解

（1）前 n 项和：把前 n 项加起来
记号回顾：$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 表示“前 $n$ 项的和”。例如 $S_3=a_1+a_2+a_3$，$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$。

注意 $a_n$ 与 $S_n$ 是两个不同的量：$a_n$ 是第 $n$ 项（一个数），$S_n$ 是前 $n$ 项加起来的总和（一个数）。例如数列 $3,5,7,9,11$ 中 $a_3=7$，而 $S_3=3+5+7=15$。

随着 $n$ 变化，$S_1,S_2,S_3,\ldots$ 又组成一个新数列。还是看 $3,5,7,9,11$：$S_1=3$，$S_2=8$，$S_3=15$，$S_4=24$，$S_5=35$。这些数有没有规律？有没有办法不一项一项加，直接算出 $S_n$？

（2）从 $1+2+\cdots+100$ 说起：首尾配对
先看一个具体的和：$1+2+3+\cdots+100$。一项一项加要加 $99$ 次；换个办法——首尾配对：

$$1+100=101,\qquad 2+99=101,\qquad \cdots,\qquad 50+51=101.$$

$100$ 个数配成 $50$ 对，每对的和都是 $101$，所以

$$1+2+\cdots+100=50\times101=5050.$$

关键在于“每对的和都相同”。为什么 $2+99$ 也等于 $101$？因为 $2$ 比 $1$ 多 $1$，$99$ 比 $100$ 少 $1$，一多一少互相抵消；一般地，$k$ 比 $1$ 多 $k-1$，$101-k$ 比 $100$ 少 $k-1$，抵消后都是 $101$。越往中间走，“多出的”和“少掉的”正好补平。

（3）倒序相加法：正写一遍、倒写一遍
配对的办法推广到一般的等差数列，就是倒序相加法。操作只有两步，先在 $1,2,\ldots,100$ 上走一遍：

正写：$S_{100}=1+2+\cdots+99+100$。
倒写：$S_{100}=100+99+\cdots+2+1$。

两式相加，上下对齐，一列是一对：

$$2S_{100}=(1+100)+(2+99)+\cdots+(99+2)+(100+1).$$

每一列的和都是 $101$，共 $100$ 列，所以 $2S_{100}=100\times101$，$S_{100}=5050$。

把 $100$ 换成一般的 $n$，把 $1,2,\ldots$ 换成 $a_1,a_2,\ldots$，就得到定理 1 的推导：

具体数列 $1,2,\ldots,100$	一般等差数列 $\{a_n\}$
$S_{100}=1+2+\cdots+100$	$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$
倒写相加，每列都是 $101$	每列都是 $a_1+a_n$（等距两项和为定值）
共 $100$ 列：$2S_{100}=100\times101$	共 $n$ 列：$2S_n=n(a_1+a_n)$
$S_{100}=5050$	$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

注意 两式相加得到的是 $2S_n$，最后必须除以 $2$。只写 $S_n=n(a_1+a_n)$ 就错了：左边是 $2S_n$，右边才是 $n(a_1+a_n)$。

（4）两个求和公式：何时用哪个
定理 1 的两个公式是同一个公式的两种写法，结果必然一样，用哪个只看已知条件：

已知什么	用哪个公式	为什么方便
首项 $a_1$ 与末项 $a_n$	$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$	直接代入，不用先求公差
首项 $a_1$ 与公差 $d$	$S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$	直接代入，不用先求末项

第二个公式是把 $a_n=a_1+(n-1)d$ 代入第一个公式得到的。

注意（最易错） 第二个公式里是 $\dfrac{n(n-1)}{2}d$，不是 $\dfrac{n(n+1)}{2}d$！从第 $1$ 项到第 $n$ 项之间隔着 $n-1$ 个间隔，多出来的公差一共是 $d+2d+\cdots+(n-1)d=\dfrac{n(n-1)}{2}d$。检验：代 $n=1$，$\dfrac{1\times0}{2}d=0$，$S_1=a_1$，自洽；若误写成 $n(n+1)$，代 $n=1$ 得 $a_1+d\ne a_1$，立刻露馅。

注意 两个公式别混用条件：用第一个公式前要确认手里有末项 $a_n$；只知道 $a_1$ 与 $d$ 时，要么先算 $a_n=a_1+(n-1)d$ 再用第一个，要么直接用第二个。

顺带记住一个老朋友：$\dfrac{n(n-1)}{2}$ 正是“$n$ 个人两两握手”的次数——$n$ 个人每两人握一次手，共握 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 次。它在求和公式里再次出现，可用来记忆 $\dfrac{n(n-1)}{2}d$ 的形式。

再记一个直观印象：$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ 的形式很像梯形面积公式 $\dfrac{(\text{上底}+\text{下底})\times\text{高}}{2}$——把 $a_1$ 当上底、$a_n$ 当下底、$n$ 当高。等差数列的项落在同一条直线上，前 $n$ 项和正是这些点连成的“阶梯”的面积，与梯形面积的思路一致。

（5）概念示例：两个公式各算一遍

示例 等差数列 $3,5,7,9,11$，求前 $5$ 项和 $S_5$。

方法一（用首项与末项）：$a_1=3$，$a_5=11$，
$S_5=\dfrac{5\times(3+11)}{2}=\dfrac{5\times14}{2}=35.$

方法二（用首项与公差）：$a_1=3$，$d=2$，
$S_5=5\times3+\dfrac{5\times4}{2}\times2=15+20=35.$

两种方法结果一致：$S_5=3+5+7+9+11=35$。

（6）S_n 是 n 的二次函数：图象与最值
把定理 1 的第二个公式展开：

$$S_n=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n.$$

$d\ne0$ 时这是 $n$ 的二次函数，并且没有常数项——形式上把 $n=0$ 代入，值为 $0$，即抛物线过原点。$d=0$ 时（常数列）退化为一次函数 $S_n=a_1n$。

注意 $S_n$ 是二次函数，但 $n$ 只能取正整数 $1,2,3,\ldots$，所以图象只是抛物线上横坐标为整数的一串孤立点，不是整条抛物线。

$n^2$ 的系数是 $\dfrac{d}{2}$，它决定开口方向：$d>0$ 时开口向上，$S_n$ 有最小值；$d<0$ 时开口向下，$S_n$ 有最大值。最大或最小，统称最值。

举个例子：正奇数 $1,3,5,7,\ldots$ 是 $a_1=1$，$d=2$ 的等差数列，代入二次函数形式：

$$S_n=\dfrac{2}{2}n^2+\left(1-\dfrac{2}{2}\right)n=n^2,$$

即 $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$。例如 $1+3+5+7=16=4^2$。“加法”变成“平方”，正是二次函数视角的威力。

最值怎么找？先找对称轴。把 $S_n$ 看成二次函数 $y=Ax^2+Bx$，其中 $A=\dfrac{d}{2}$，$B=a_1-\dfrac{d}{2}$，由对称轴公式 $x=-\dfrac{B}{2A}$ 得

$$n_0=\dfrac12-\dfrac{a_1}{d}.$$

$n_0$ 一般不是整数，而 $n$ 只能取正整数，所以取 $n_0$ 左右最近的两个正整数分别代入 $S_n$ 比较：$d>0$ 时取较小者，得最小值；$d<0$ 时取较大者，得最大值。最值的系统求法到后续章节再展开。

（7）性质 1：等差中项（衔接上节）
$a,A,b$ 三数成等差数列，当且仅当 $2A=a+b$。两个方向都要看懂：若成等差，则 $A-a=b-A$，移项得 $2A=a+b$；反过来，若 $2A=a+b$，则 $A-a=b-A$，三数必成等差。上节已用它判断三数成等差，本节把它当作随手可用的性质。

（8）性质 2：等距下标和
性质 2 说的是：下标和相等，项和就相等。$m+n=p+q$ 时，$a_m+a_n=a_p+a_q$。

直觉上为什么对？$a_m$ 与 $a_n$ 分别从 $a_1$ 出发走了 $m-1$ 步、$n-1$ 步，合起来走了 $(m-1)+(n-1)=m+n-2$ 步；$a_p$ 与 $a_q$ 合起来走了 $p+q-2$ 步。两种走法的总步数相同，加上的公差总数就相同，和自然相同。

注意 条件是“下标之和相等”，不是“下标相等”。例如 $a_2+a_6=a_3+a_5$（$2+6=3+5=8$）；但一般 $a_2+a_6\ne a_2+a_5$，因为 $2+6\ne2+5$。

特别情形 $m+n=2k$ 时 $a_m+a_n=2a_k$，意思是 $a_k$ 正是 $a_m$ 与 $a_n$ 的等差中项（性质 1）。它带来一种快速计算：

示例 等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_4+a_{10}=24$，求 $a_7$。因为 $4+10=14=2\times7$，所以 $a_4+a_{10}=2a_7$，$a_7=12$。

倒序相加时用到的“与首末两项等距离的两项之和为定值”，正是性质 2 在 $m+n=n+1$ 时的情形：$a_i+a_{n+1-i}=a_1+a_n$（因为 $i+(n+1-i)=1+n$）。

（9）性质 3：片段和
把等差数列每 $n$ 项切成一段：第 $1$ 段是前 $n$ 项（和为 $S_n$），第 $2$ 段是第 $n+1$ 项到第 $2n$ 项（和为 $S_{2n}-S_n$），第 $3$ 段是第 $2n+1$ 项到第 $3n$ 项（和为 $S_{3n}-S_{2n}$），……这些“片段和”仍成等差数列。

为什么？以第 $1$ 段与第 $2$ 段为例：$a_{n+1}$ 比 $a_1$ 多 $nd$，$a_{n+2}$ 比 $a_2$ 多 $nd$，……每一对对应项都多 $nd$（下标相差 $n$，由 1.2.1 节定理 2），$n$ 项合计多 $n\cdot nd=n^2d$。第 $3$ 段比第 $2$ 段同样多 $n^2d$，每段都比前一段多 $n^2d$，故成等差数列，公差 $n^2d$。

注意 片段必须等间隔：每段都恰好 $n$ 项、紧挨着切。切成参差不齐的段，性质不成立。例如 $1,2,\ldots,9$（$d=1$）每 $3$ 项一段，段和 $6,15,24$ 成等差（公差 $9=3^2\times1$）；若切成 $1,2,3$、$4,5$、$6,7,8,9$，段和 $6,9,30$ 不成等差。

（10）性质 4：奇数项与偶数项
两个式子各说一件事：

• $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$：前 $2n-1$ 项的和等于项数乘以中间项 $a_n$；
• $S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$：前 $2n$ 项的和等于 $n$ 乘中间一对（$a_n$ 与 $a_{n+1}$）之和。

为什么？$S_{2n-1}=\dfrac{(2n-1)(a_1+a_{2n-1})}{2}$，而 $a_1+a_{2n-1}=2a_n$（性质 2，$1+(2n-1)=2n$），代入得 $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$。类似地，$a_1+a_{2n}=a_n+a_{n+1}$（性质 2，$1+2n=n+(n+1)$），故 $S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$。

例如 $3,5,7,9,11$ 中 $S_5=5\times7=35$（$5$ 倍中间项），与（5）的结果一致；$3,5,7,9,11,13$ 中 $S_6=3\times(7+9)=48$，直接相加 $3+5+7+9+11+13=48$，也一致。

（11）性质 5：a_n 与 S_n 的关系
$S_n$ 比 $S_{n-1}$ 多出的恰好是第 $n$ 项：

$$a_n=S_n-S_{n-1}\qquad(n\ge2).$$

为什么要求 $n\ge2$？因为 $S_{n-1}$ 从 $S_1$ 起才有意义，即 $n-1\ge1$。$n=1$ 时没有 $S_0$，单独记住 $a_1=S_1$。这个关系对任何数列都成立，不只等差数列；本节先用它做简单检验（例如 $a_2=S_2-S_1$），系统用法到第 5 章再展开。

（12）一条直线与一条抛物线：a_n 与 S_n 的两种图象
上节看到 $a_n=dn+(a_1-d)$ 是 $n$ 的一次函数，图象是直线上的孤立点；本节看到 $S_n=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n$ 是 $n$ 的二次函数，图象是抛物线上的孤立点：

量	关于 $n$ 的表达式	类型（$d\ne0$ 时）	图象
第 $n$ 项 $a_n$	$dn+(a_1-d)$	一次函数	直线上的孤立点
前 $n$ 项和 $S_n$	$\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n$	二次函数	抛物线上的孤立点

这就是考纲所说“等差数列与一次函数的关系”的自然延伸：通项是一次函数，和是二次函数，两者由“逐项累加”联系起来。到等比数列（1.3 节）时会看到，它的求和公式将用另一种方法——错位相减——来推导。

历史背景

相传德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）少年时，老师让全班计算 $1+2+3+\cdots+100$，高斯很快写出答案 $5050$：首尾配对，$1+100=101$，$2+99=101$，……共 $50$ 对，$101\times50=5050$。这个故事流传极广，但具体经过难以确证，只能算“相传”【待核：高斯幼年求和故事的原始出处】。

把配对的想法写成“正写一遍、倒写一遍再相加”，就是本节的核心方法倒序相加法。这个技巧常与高斯的故事一起流传；至于更早的文献里是否已有人用过同样的办法，目前没有确凿材料【待核：倒序相加法更早的文献出处】。

等差数列求和的实际需要自古就有：古埃及莱因德纸草书、古巴比伦泥板中都有按等差分配物品、计算级数之和的记载【待核：莱因德纸草书与巴比伦泥板中等差求和的题号与原文】。“前 $n$ 项和”的记号 $S_n$ 与求和符号 $\sum$（读作“西格玛”）要到近代才逐渐定型，$\sum$ 一般认为由欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）引入【待核：欧拉引入求和符号 $\sum$ 的具体文献与年份】。

第3章 等比数列

本章导语

本章研究另一类核心数列——等比数列：相邻两项之比恒为常数。与等差数列对照着学：定义、通项、前 n 项和、性质四块结构一一对应，最关键的差异在求和公式要讨论公比 q=1。

本章结构

• 1.3.1 等比数列的定义与通项公式 —— 等比定义、公比、通项公式与指数函数关系
• 1.3.2 等比数列的前 n 项和与性质 —— 前 n 项和公式（分 q=1）、错位相减推导与性质

1.3.1 等比数列的定义与通项公式

本节前置

• 数列的概念与表示
• 数列的分类、递推公式与单调性
• 比较大小的方法与幂的运算

严谨定义

定义 1（等比数列）
设数列 $\{a_n\}$ 满足：从第 $2$ 项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，则称 $\{a_n\}$ 为等比数列。

用递推式严格表述：存在常数 $q$，使对一切 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 都有

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q,$$

其中要求各项均不为 $0$，因而公比 $q\neq0$。

理由有两条：一是作比时分母 $a_n$ 不能为 $0$；二是若某一步出现 $0$，则后续作比无法进行（详见详细讲解（3））。

定义 2（公比）
等比数列中那个"同一个常数"称为公比，记作 $q$。公比与 $n$ 无关，是刻画整个数列"每次乘多少"的固定参数。

由定义式与各项非零可知 $q\neq0$；$q$ 可为正数，也可为负数，但不能为零。

定理 1（等比数列的通项公式）
设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则对任意 $n\in\mathbb{N}_{+}$，

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

证明（连乘法）：由定义写出 $n-1$ 个等式

$$\dfrac{a_2}{a_1}=q,\quad \dfrac{a_3}{a_2}=q,\quad\ldots,\quad \dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q,$$

将它们全部相乘。

左边分子分母逐项约分，只剩 $\dfrac{a_n}{a_1}$；右边是 $n-1$ 个 $q$ 相乘，得 $q^{n-1}$。

于是 $\dfrac{a_n}{a_1}=q^{n-1}$，即 $a_n=a_1q^{n-1}$。当 $n=1$ 时，$a_1=a_1q^{0}=a_1$，公式同样成立。

定理 2（由任意一项求其他项）
设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则对任意 $m,n\in\mathbb{N}_{+}$，

$$a_n=a_mq^{n-m}.$$

证明梗概：由定理 1，$a_m=a_1q^{m-1}$，$a_n=a_1q^{n-1}$，两式相除得 $\dfrac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，移项即得。

定义 3（等比中项）
若三个数 $a,G,b$ 成等比数列，则称 $G$ 为 $a$ 与 $b$ 的等比中项。此时 $\dfrac{G}{a}=\dfrac{b}{G}$，交叉相乘得

$$G^2=ab,$$

故当 $ab>0$ 时 $G=\pm\sqrt{ab}$，一般有两个值。

注意：$G^2=ab$ 只是 $a,G,b$ 成等比的必要不充分条件——由等比可推出 $G^2=ab$，但由 $G^2=ab$ 未必能推出等比，还须 $a,G,b$ 均非零且 $ab>0$（详见详细讲解（10））。

判定方法 1（定义法）
验证数列 $\{a_n\}$ 各项均不为 $0$，且任意相邻两项之比 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 恒等于同一个非零常数，即与 $n$ 无关。

判定方法 2（中项法）
验证对一切 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 都有 $a_{n+1}^2=a_na_{n+2}$，且各项均不为 $0$。

详细讲解

（1）三个数列，三种"翻倍或缩半"
先看三个具体数列：

• $1,2,4,8,\ldots$；
• $27,9,3,1,\dfrac{1}{3},\ldots$；
• $1,-2,4,-8,\ldots$。

第一个：$\dfrac{2}{1}=2$，$\dfrac{4}{2}=2$，$\dfrac{8}{4}=2$，后一项除以前一项恒为 $2$。

第二个：$\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{\frac{1}{3}}{1}=\dfrac{1}{3}$，恒为 $\dfrac{1}{3}$。

第三个：$\dfrac{-2}{1}=-2$，$\dfrac{4}{-2}=-2$，$\dfrac{-8}{4}=-2$，恒为 $-2$。

共同点：相邻两项之比始终是同一个非零常数。这就是等比数列的本质。

也可以换一种说法：每一项都等于前一项乘以同一个数。第一个每项是前项的 $2$ 倍，第二个是 $\dfrac{1}{3}$ 倍，第三个是 $-2$ 倍。

（2）定义逐字读：等比是"乘同一个数"
"从第 $2$ 项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数"，这句话有三个关键词。

第一，"从第 $2$ 项起"。第 $1$ 项没有前一项，谈不上"与前一项的比"，比较从 $a_2$ 与 $a_1$ 开始。

第二，"每一项"。要求每一个相邻之比都相等，只检查前两项或前三项是不够的。

第三，"同一个常数"。常数不随 $n$ 变化，它有专门的名字——公比。

与等差数列对照：等差是"加同一个数"（$a_{n+1}-a_n=d$），等比是"乘同一个数"（$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$，即 $a_{n+1}=qa_n$）。一个看差，一个看比。

等比数列用乘法语言写成 $a_{n+1}=qa_n$，它其实就是一个递推公式（见 1.1.2 节）。$a_{n+1}=qa_n$ 与 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$ 等价的前提是 $a_n\neq0$——这正是"各项非零"要求的原因之一。

注意（最易错） 公比是"后一项除以前一项"：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$。写反成 $\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$，$1,2,4,8$ 的"公比"会变成 $\dfrac{1}{2}$，方向全错。

（3）为什么各项不能为 0、公比不能为 0
等比数列的定义里藏着两条"看不见"的条件，必须讲清。

第一，作比时分母不能为 $0$。$a_{n+1}$ 除以 $a_n$，分母是 $a_n$，所以每一项 $a_n$ 都不能是 $0$，否则除法没有意义。这是"各项均不为 $0$"最直接的理由。

第二，若某一步出现 $0$，后面就全乱了。假设 $a_k=0$，则 $\dfrac{a_k}{a_{k-1}}=0$，公比只能取 $0$；而 $q=0$ 时 $a_{k+1}=0\cdot a_k=0$，$a_{k+2}=0$，……后面全部为 $0$，最终必然出现"以 $0$ 为分母作比"的处境，整个定义崩掉。

再验证一下：$a_k=0$ 时，$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ 的分母就是 $0$，根本没法写。所以"某项为 $0$"与"每项都能作比"直接冲突。

注意（最易错） 含 $0$ 的数列不可能是等比数列。例如 $1,0,0,0,\ldots$，虽然"后一项乘 $0$"似乎有规律，但 $\dfrac{0}{1}=0$、$\dfrac{0}{0}$ 无法计算，按定义它不是等比数列。等比数列的每一项都必须非零。

第三，公比 $q\neq0$。既然各项都非零，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 是"非零除以非零"，结果不可能为 $0$，所以 $q\neq0$。反过来，$q\neq0$ 也能保证由 $a_{n+1}=qa_n$ 推出的各项都非零：非零乘非零还是非零。

（4）公比的正负：同号还是摆动
公差 $d$ 可正可负可零；公比 $q$ 可正可负，但不能为零（见（3））。$q$ 的正负决定了各项的符号走向。

$q>0$ 时，各项同号：$a_{n+1}=qa_n$，乘以正数不改变符号，所以所有项都与 $a_1$ 同号。

$q<0$ 时，正负交替：每乘一次负数就变一次号，$a_1$ 正则 $a_2$ 负、$a_3$ 正、$a_4$ 负……这正是 1.1.2 节定义的摆动数列，$1,-2,4,-8,\ldots$ 就是例子。

公比	符号走向	例子
$q>0$	各项同号（都与 $a_1$ 同号）	$1,2,4,8,\ldots$（全正）；$-1,-2,-4,\ldots$（全负）
$q<0$	正负交替，摆动	$1,-2,4,-8,\ldots$

同号时再分增减：$q>1$ 且 $a_1>0$ 时递增（越乘越大）；$0<q<1$ 且 $a_1>0$ 时递减（越乘越小）；$a_1<0$ 时结论相反。这些在（7）用指数函数的图象再讲一遍。

（5）等差与等比对照表

项目	等差数列	等比数列
定义	后一项减前一项等于同一个常数	后一项除以前一项等于同一个常数
记号	公差 $d$	公比 $q$
递推式	$a_{n+1}-a_n=d$	$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$（各项非零）
通项公式	$a_n=a_1+(n-1)d$	$a_n=a_1q^{n-1}$
由 $a_m$ 求 $a_n$	$a_n=a_m+(n-m)d$	$a_n=a_mq^{n-m}$
中项	$A=\dfrac{a+b}{2}$（唯一）	$G=\pm\sqrt{ab}$（两个）
几何意义	$n$ 的一次函数（直线上的点）	与指数函数 $y=c\cdot q^x$ 有关
参数范围	$d$ 为任意实数	$q\neq0$，各项非零

对照看，左右两列的结构完全一一对应："差"换成"比"，"加"换成"乘"。记住等差，等比就记了一半。

（6）通项公式推导：连乘法（累乘）
等差数列用"累加"推通项，等比数列改用"连乘"：把 $n-1$ 个"相邻比"等式写成一列再相乘。

$$\dfrac{a_2}{a_1}=q,\quad\dfrac{a_3}{a_2}=q,\quad\ldots,\quad\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q.$$

把左边全部乘起来：

$$\dfrac{a_2}{a_1}\cdot\dfrac{a_3}{a_2}\cdots\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{a_n}{a_1},$$

中间的分子分母逐项约分：$\dfrac{a_2}{a_1}\cdot\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_3}{a_1}$，再乘 $\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_4}{a_1}$，一路约下去只剩首项 $a_1$ 在分母、末项 $a_n$ 在分子。

右边是 $n-1$ 个 $q$ 相乘，即 $q^{n-1}$——这正是 0.3.2 节学的幂：底数 $q$ 连乘 $n-1$ 次。于是

$$\dfrac{a_n}{a_1}=q^{n-1},\qquad a_n=a_1q^{n-1}.$$

示例 $1,2,4,8,\ldots$ 中 $a_1=1$，$q=2$。第 $10$ 项：$a_{10}=1\cdot2^{9}=512$；第 $20$ 项：$a_{20}=2^{19}=524288$。翻倍增长的威力可见一斑。

注意（最易错） 指数是 $n-1$，不是 $n$！第 $10$ 项是从第 $1$ 项出发连乘 $9$ 次公比，不是 $10$ 次。检验：代 $n=1$，$a_1=a_1q^{0}=a_1\cdot1=a_1$，公式自洽；若写成 $a_n=a_1q^n$，代 $n=1$ 得 $a_1q\neq a_1$（$q\neq1$ 时），立刻露馅。这里用到零指数幂 $q^0=1$（见 0.3.2 节）。

$n=1$ 的情形单独确认：连乘用了 $n-1$ 个等式，$n=1$ 时是 $0$ 个等式，公式退化为 $a_1=a_1q^0=a_1$，仍成立。所以定理 1 对一切 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 都成立，不必分开写。

（7）通项公式的几何意义：与指数函数有关
把通项公式改写：

$$a_n=a_1q^{n-1}=\dfrac{a_1}{q}\cdot q^n.$$

令 $c=\dfrac{a_1}{q}$（一个常数），则 $a_n=c\cdot q^n$。把 $n$ 当自变量、$a_n$ 当函数值，$a_n$ 与指数型函数 $y=c\cdot q^x$ 形式一致——$q^n$ 是底数固定、指数变化的幂，指数 $n$ 每增加 $1$，$a_n$ 就乘以 $q$。

注意 教科书上说的"等比数列与指数函数的关系"：当 $q>0$ 时，$\{a_n\}$ 的图象是曲线 $y=\dfrac{a_1}{q}\cdot q^x$ 上横坐标为 $n=1,2,3,\ldots$ 的一串孤立点。$q<0$ 时 $q^x$ 对非整数 $x$ 没有意义（负数的非整数次幂定义不了），所以此时不能借助指数函数图象，只看（4）的符号交替即可。

分情况看走势（设 $a_1>0$）：

• $q>1$：每乘一次变大一点，$a_n$ 随 $n$ 递增，且越增越快——"翻倍增长"，对应指数函数 $y=cq^x$ 上升且越来越陡；
• $0<q<1$：每乘一次变小一点，$a_n$ 随 $n$ 递减，逐渐趋近于 $0$ 但不等于 $0$——"衰减"；
• $q=1$：$a_n=a_1$ 恒为常数，是常数列（公比为 $1$ 是允许的）；
• $q<0$：符号交替，不单调，即摆动。

示例 $1,2,4,8,\ldots$ 是 $q=2>1$ 的翻倍增长；$27,9,3,1,\dfrac{1}{3},\ldots$ 是 $q=\dfrac{1}{3}$ 的衰减：$a_n=\dfrac{27}{3^{n-1}}$ 恒为正，逐项除以 $3$，趋向 $0$ 但永远不是 $0$。

（8）由任意一项出发：$a_n=a_mq^{n-m}$
通项公式的起点不必是第 $1$ 项。已知第 $m$ 项 $a_m$ 与公比 $q$，从 $a_m$ 走到 $a_n$ 要连乘 $n-m$ 次公比：

$$a_n=a_mq^{n-m}.$$

示例 等比数列中 $a_5=3$，$q=2$，求 $a_{12}$：从第 $5$ 项到第 $12$ 项要乘 $12-5=7$ 次 $2$，故 $a_{12}=3\cdot2^7=384$。

$m=1$ 时它就是 $a_n=a_1q^{n-1}$，可见定理 2 是通项公式的推广。

反过来，已知任意两项 $a_m$、$a_n$，由 $a_n=a_mq^{n-m}$ 可求公比：$q^{n-m}=\dfrac{a_n}{a_m}$。当 $n-m=1$ 时，就是 $q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$，即定义本身。

（9）等比中项：两个值
若 $a,G,b$ 成等比数列，则 $\dfrac{G}{a}=\dfrac{b}{G}$。交叉相乘整理得 $G^2=ab$，于是

$$G=\pm\sqrt{ab}.$$

中间那个数的平方等于首尾两数的乘积——"中项"名字的由来，也与等差中项"平均数"形成对照。

示例 $2$ 与 $8$ 的等比中项：$G^2=2\times8=16$，$G=\pm4$。取 $G=4$，$2,4,8$ 成等比（$q=2$）；取 $G=-4$，$2,-4,8$ 也成等比（$q=-2$）。两个都算！

注意（最易错） 等差中项只有一个值（平均数），等比中项一般有两个值（$\pm\sqrt{ab}$）。求等比中项时容易漏掉负号只写正的，这是高频失分点。

（10）$G^2=ab$ 只是必要不充分条件
反过来，满足 $G^2=ab$ 的三个数一定成等比数列吗？不一定。

先看一个方向：$a,G,b$ 成等比 $\Rightarrow$ $G^2=ab$，这是由定义直接推出的，成立。

再看另一个方向：$G^2=ab$ 时，若 $G=0$，则 $ab=0$，$a,b$ 中至少一个为 $0$，数列里出现 $0$，按（3）不可能是等比数列。

示例（反例） $a=0$，$b=5$，$G=0$：$G^2=0=ab$ 成立，但 $0,0,5$ 中 $\dfrac{0}{0}$ 无法计算，不成等比。所以 $G^2=ab$ 推不出"成等比"。

所以"$G^2=ab$ 是 $a,G,b$ 成等比的必要不充分条件"：由等比能推出 $G^2=ab$，但由 $G^2=ab$ 推不出等比——还差"$a,G,b$ 三个数都非零、$ab>0$"这些条件。$ab<0$ 时 $\sqrt{ab}$ 甚至不是实数，两个值都不存在。

注意（最易错） 做题时，已知 $G^2=ab$ 只能说"可能成等比"，必须再验证 $G\neq0$（以及 $a,b$ 非零同号）才能下结论。反过来，已知 $a,G,b$ 成等比，则 $G^2=ab$ 必然成立，且 $G\neq0$。

（11）正项等比数列
若等比数列 $\{a_n\}$ 的每一项都大于 $0$，则称 $\{a_n\}$ 为正项等比数列，即 $a_n>0$ 对一切 $n\in\mathbb{N}_{+}$ 成立。

由中项公式，$a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}$；两边都是正数，开平方取正号：

$$a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}.$$

每一项都是它前后两项的等比中项的正值。这个式子常用于已知相邻两项求中间项，或证明某正项数列是等比数列。

示例 正项等比数列中 $a_3=4$，$a_5=9$，则 $a_4^2=4\times9=36$，又 $a_4>0$，故 $a_4=6$。

（12）判定一个数列是不是等比数列
判断 $\{a_n\}$ 是否为等比数列，常用两种方法，与等差数列的判定一一对应。

定义法：验证各项均不为 $0$，且任意相邻两项之比 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 恒等于同一个非零常数，即与 $n$ 无关。

中项法：验证对一切 $n$ 都有 $a_{n+1}^2=a_na_{n+2}$，且各项均不为 $0$。

方法	验证什么	何时好用
定义法	$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 恒为非零常数	已给通项或递推式，直接算比
中项法	$a_{n+1}^2=a_na_{n+2}$ 且各项非零	递推式里三项同时出现时

中项法为什么与定义法等价？若 $a_{n+1}^2=a_na_{n+2}$ 恒成立，两边除以 $a_na_{n+1}$（非零）得 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}$，相邻两比相等；反过来，相邻两比相等当然推出中项式。两种方法本质是同一件事的两种写法。

注意 中项法必须额外检查"各项非零"：$a_{n+1}^2=a_na_{n+2}$ 本身允许全为 $0$ 的数列，而全零数列不是等比数列。

示例 判断 $b_n=3\cdot2^n$ 是否为等比数列。定义法：$\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{3\cdot2^{n+1}}{3\cdot2^n}=2$，恒为常数，且各项 $3\cdot2^n>0$ 非零，故是等比数列，$q=2$。这也印证了（7）：通项是 $c\cdot q^n$ 形式的数列必为等比数列。

历史背景

棋盘麦粒问题（相传）
相传古印度（一说是波斯）的国王要重赏国际象棋的发明者，发明者请求："在第 $1$ 个格子里放 $1$ 粒麦子，第 $2$ 格放 $2$ 粒，第 $3$ 格放 $4$ 粒，每往后一格都翻倍，放满 $64$ 格。"

国王起初觉得这要求太简单，实际一算才大惊失色。每格的麦粒数 $1,2,4,8,\ldots$ 正是公比 $q=2$ 的等比数列，第 $64$ 格就有 $2^{63}$ 粒，全部麦粒加起来是一个天文数字。故事版本众多，具体经过难以确证，只能算"相传"。

古埃及莱因德纸草书中的等比问题
现存最著名的古埃及数学文献之一——莱因德纸草书（约公元前 1650 年）中，载有涉及"按倍比增长"分配物品的问题，例如"7 座房屋、49 只猫、343 只老鼠"之类逐项乘以 $7$ 的题目，与等比数列密切相关【待核：莱因德纸草书中该类问题的具体题号与原文表述】。

名称的来历
等比数列在英文中称 geometric sequence（几何数列）。"几何"二字源于古希腊人用几何比（线段长度之比）研究音乐与比例的传统，这个名称的具体由来缺乏确切记载【待核：geometric sequence 名称源于古希腊几何比传统的具体文献依据】。

1.3.2 等比数列的前 n 项和与性质

本节前置

• 等比数列的定义与通项公式
• 等差数列的前 n 项和与性质
• 比较大小的方法与幂的运算

严谨定义

定理 1（等比数列的前 n 项和公式）
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$（等比数列的公比满足$q \neq 0$），它的前$n$项和是

$$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}.$$

则当$q = 1$时，有

$$S_n = n a_1;$$

当$q \neq 1$时，$S_n$有三个等价形式：

$$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q},$$

其中$a_n$是数列的第$n$项（末项）。

用错位相减法完整推导。第一步，写出$S_n$：

$$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}.$$

第二步，两边同乘$q$：

$$qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^n.$$

第三步，两式相减（第一式减第二式）。中间的项$a_1 q, a_1 q^2, \ldots, a_1 q^{n-1}$一一抵消，只剩第一式的首项与第二式的末项：

$$S_n - qS_n = a_1 - a_1 q^n,$$

即

$$(1-q)S_n = a_1(1-q^n).$$

第四步，解出$S_n$要两边除以$1-q$。除以一个数要求它不为$0$，所以必须分类讨论：

若$q = 1$，则$1 - q = 0$，不能除。此时每一项都等于$a_1$，共$n$项，$S_n = n a_1$。

若$q \neq 1$，则$1 - q \neq 0$，两边除以$1 - q$：

$$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}.$$

三个等价形式互相转换：把分子分母同乘$-1$，得$\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$；又因$a_n = a_1 q^{n-1}$，故$a_1 q^n = a_n q$，代入分子得$\dfrac{a_1 - a_n q}{1-q}$。

性质 1（等比中项）
设$G \neq 0$，则$a, G, b$成等比数列，当且仅当

$$G^2 = ab.$$

性质 2（等距下标积）
在等比数列$\{a_n\}$中，若$m + n = p + q$，则

$$a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q.$$

特别地，当$m + n = 2k$时，$a_m \cdot a_n = a_k^2$。

性质 3（片段和）
设等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则

$$S_n,\quad S_{2n} - S_n,\quad S_{3n} - S_{2n},\quad \ldots$$

仍构成等比数列，其公比为$q^n$。

当$q = -1$且$n$为偶数时，每个片段和都为$0$，此时$0, 0, 0, \ldots$不构成等比数列。

性质 4（相邻 k 项和）
等比数列中相邻的$k$项之和

$$a_1 + a_2 + \cdots + a_k,\quad a_{k+1} + a_{k+2} + \cdots + a_{2k},\quad \ldots$$

仍构成等比数列，其公比为$q^k$。这条性质与性质 3 同源。

详细讲解

（1）先算一个具体的和：$1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1}$
数列$1, 2, 4, \ldots, 2^{n-1}$是首项$a_1 = 1$、公比$q = 2$的等比数列。要求$S_n$，直接逐项相加太累，$n$一大就不可行。

换个思路：把$S_n$写两行，第二行整体乘$2$，再错开一位对齐：

$$S_n = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1}$$

$$2S_n = 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^n$$

下式减上式，中间的$2, 4, \ldots, 2^{n-1}$上下全部抵消：

$$2S_n - S_n = 2^n - 1$$

所以$S_n = 2^n - 1$。

验证一下：$n = 3$时，$1 + 2 + 4 = 7$，而$2^3 - 1 = 7$，一致。

（2）错位相减法的原理
刚才的方法叫错位相减法。为什么叫"错位"？因为第二行每一项都比第一行靠右一位，两行像台阶一样错开。

为什么乘$q$而不是别的数？因为公比是$q$：第一行的第$k+1$项是$a_1 q^k$，第二行的第$k$项也是$a_1 q^k$（由第一行第$k$项$a_1 q^{k-1}$乘$q$得到），两者正好相等。

于是相减时，第一行的第2项与第二行的第1项抵消，第3项与第2项抵消……只剩第一行的首项$a_1$与第二行的末项$a_1 q^n$。类比：两行错开对齐后上下抵消，像拉链两边的齿一一咬合，只露出两头。

（3）为什么必须分$q = 1$讨论
第四步要两边除以$1 - q$。除法的前提是除数不为$0$：若$q = 1$，则$1 - q = 0$，整条路走不通，必须单独处理。

$q = 1$时，每一项都等于首项$a_1$，数列退化为常数列，$n$个$a_1$相加就是$S_n = n a_1$。

| 公比 | 各项的样子 | 求和公式 |
| $q = 1$ | 全是$a_1$（常数列） | $S_n = n a_1$ |
| $q \neq 1$ | 从$a_1$起逐项乘$q$ | $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ |

注意 忘记讨论$q = 1$是等比数列求和的头号失分点。只要题目没有明说"公比不等于1"，拿到等比数列求和，第一步先问：公比是不是1？这也是等比求和与等差求和的本质区别——等差公式对公差没有任何限制，一个公式通吃；等比必须分两段。

示例 常数列$3, 3, 3, \ldots$（$q = 1$）的前$n$项和：每项都是3，共$n$项，$S_n = 3n$。若忘记讨论$q = 1$而套用另一公式，会算出$\dfrac{3(1 - 1^n)}{1 - 1} = \dfrac{0}{0}$，毫无意义——这就是必须分类的原因。

（4）分母用$1 - q$还是$q - 1$
$\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$与$\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$是同一个式子：分子分母同乘$-1$即可互相转化。选哪个？原则是让分母为正，少碰负号：

| 公比范围 | 推荐形式 | 理由 |
| $q > 1$ | $S_n = \dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ | 分子分母都是正数，符号不易错 |
| $q < 1$ | $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ | 分母为正，且$1 - q^n > 0$ |

示例 求$1, 2, 4, \ldots, 2^{n-1}$的前$n$项和。这里$a_1 = 1$，$q = 2 > 1$，用分母为$q - 1$的形式：$S_n = \dfrac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$，与（1）中手算的结果完全一致。

（5）已知$a_1, q, a_n$时：$S_n = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q}$
由$a_n = a_1 q^{n-1}$两边乘$q$，得$a_n q = a_1 q^n$，于是

$$a_1(1 - q^n) = a_1 - a_1 q^n = a_1 - a_n q.$$

把它代进公式，就得到第三个形式。它最大的好处是：已知末项$a_n$时，不必先反解项数$n$。

| 已知条件 | 选用形式 | 说明 |
| $a_1, q, n$ | $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ | 三个量直接代入 |
| $a_1, q, a_n$ | $S_n = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q}$ | 不必先求$n$ |

注意 第三个形式同样要求$q \neq 1$：若$q = 1$，则$a_n = a_1$，分子分母都为0，出现$\dfrac{0}{0}$。

（6）三个易错点

注意 忘讨论$q = 1$。详见（3）：只要题目没说公比不等于1，先问公比是不是1。

注意 指数写错。公式里是$q^n$，不是$q^{n-1}$。末项是$a_1 q^{n-1}$，乘$q$后变成$a_1 q^n$，所以抵消后留下的是$q^n$。

注意 分母变号出错。$\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$与$\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$互转时，分子分母必须同时乘$-1$，只变一个就错。

（7）性质 1：等比中项再认识
上一节定义过：若$a, G, b$成等比数列，则$G$叫作$a$与$b$的等比中项。性质 1 把它写成便于计算的形式：$G \neq 0$且$G^2 = ab$，两个方向都成立。

为什么成立？正向：设公比为$q$，则$G = aq$，$b = Gq$，于是$G^2 = (aq) \cdot G = a \cdot (Gq) = ab$。反向：若$G \neq 0$且$G^2 = ab$，则$ab = G^2 > 0$，$a, b$都不为0，且$\dfrac{G}{a} = \dfrac{b}{G}$，说明从$a$到$G$、从$G$到$b$乘的是同一个倍数，成等比数列。

为什么必须$G \neq 0$？等比数列各项都不为0、公比也不为0。若$G = 0$，例如$0, 0, 5$，虽然$0^2 = 0 \times 5$，但$0 \div 0$无法定义公比，不是等比数列。

示例 求2与8的等比中项：$G^2 = 2 \times 8 = 16$，$G = \pm 4$。$2, 4, 8$公比为2，$2, -4, 8$公比为$-2$，两者都成等比数列。

（8）性质 2：等距下标积
为什么成立？算一下：

$$a_m a_n = a_1 q^{m-1} \cdot a_1 q^{n-1} = a_1^2 q^{m+n-2},$$

乘积只由下标之和$m + n$决定。所以下标和相等的两项之积相等：$m + n = p + q$时$a_m a_n = a_p a_q$；特别地，$m + n = 2k$时$a_m a_n = a_k^2$。

这与等差数列的"等距下标和"（$m + n = p + q$则$a_m + a_n = a_p + a_q$）完全平行，只是加法换成了乘法——这正是等比数列"连乘结构"的体现。

示例 等比数列$\{a_n\}$中，$a_3 = 4$，$a_7 = 9$，求$a_5$。因为$3 + 7 = 10 = 5 + 5$，由性质 2 得$a_5^2 = a_3 a_7 = 36$，$a_5 = \pm 6$。又$a_5 = a_3 q^2$与$a_3$同号，而$a_3 = 4 > 0$，所以$a_5 = 6$。

注意 用$a_m a_n = a_k^2$开方求$a_k$时，正负号要结合公比的符号判断，不能想当然取正。

（9）性质 3：片段和
把和"切片"来看：$S_n$是前$n$项之和，$S_{2n} - S_n$是第$n+1$项到第$2n$项之和，$S_{3n} - S_{2n}$是第$2n+1$项到第$3n$项之和……这些片段和依次为

$$S_n, \quad S_{2n} - S_n, \quad S_{3n} - S_{2n}, \quad \ldots$$

性质 3 说它们仍成等比数列，公比为$q^n$。为什么？第$k$个片段是$a_{(k-1)n+1} + \cdots + a_{kn}$，提取公因子$a_1 q^{(k-1)n}$后写成

$$a_1 q^{(k-1)n} \cdot (1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}),$$

相邻两片段之比恰好是$q^n$。

但这里有个前提：公共因子$1 + q + \cdots + q^{n-1}$不能为0。什么时候它为0？当$q = -1$且$n$为偶数时：$1 + (-1) + 1 + (-1) + \cdots$成对抵消，和为0，于是每个片段和都是0，$0, 0, 0, \ldots$不是等比数列（公比$0 \div 0$无意义）。

示例 数列$1, -1, 1, -1, \ldots$（$q = -1$），取$n = 2$：$S_2 = 0$，$S_4 - S_2 = 0$，$S_6 - S_4 = 0$，……全是0，不构成等比数列。

示例 数列$1, 2, 4, 8, \ldots$（$q = 2$），取$n = 2$：片段和$3, 12, 48, \ldots$，公比$4 = q^2$，仍成等比数列。

（10）性质 4：相邻 k 项和
性质 3 把"每$n$项"切一段，性质 4 把"每$k$项"切一段，本质相同：等比数列中任意相邻等长的若干项之和，构成公比为$q^k$的新等比数列。

理由：每段的开头依次是$a_1$，$a_{k+1} = a_1 q^k$，$a_{2k+1} = a_1 q^{2k}$，……段内结构完全相同，所以段与段之比恒为$q^k$。它同样在$q = -1$且$k$为偶数时失效（每段和为0），与性质 3 同理。

（11）与等差数列求和公式对照
等差数列的前$n$项和是$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$，展开成$S_n = \dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac{d}{2}\right)n$，是关于$n$的二次函数；等比数列则是分段形式：

| 对比项 | 等差数列 | 等比数列 |
| 求和公式 | $S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ | $q=1$：$S_n = na_1$；$q \neq 1$：$S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ |
| 对公比（公差） | 无限制，一个公式通吃 | 必须分$q=1$与$q \neq 1$两段 |
| $S_n$随$n$的形态 | 二次函数 | 一次式（$q=1$）或指数式（$q \neq 1$） |

这段"分段"不是故弄玄虚，而是推导中除以$(1-q)$留下的痕迹。

错位相减法不止能对付纯等比数列：它稍加变化，还能求"等差数列乘等比数列"的混合数列的前$n$项和，第 4 章会推广这一点（本节不展开）。

历史背景

欧几里得《几何原本》中的等比求和
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中已经研究了等比数列的求和【待核：《几何原本》中相关命题的编号与文字表述，请以中译本核对】。他用"连续比例"的语言证明：等比数列各项之和等于

$$\frac{a_n q - a_1}{q - 1},$$

这正相当于本节的第三个形式$S_n = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q}$（分子分母同乘$-1$即得），只不过当时没有代数符号，全部用文字叙述。

棋盘麦粒问题（相传）
相传古印度有位国王要奖赏国际象棋的发明者【待核：传说的人物、国别与年代各版本不一】。发明者指着棋盘说：第1格放1粒麦子，第2格放2粒，第3格放4粒，……每格放前一格的2倍，放满64格就行。国王觉得这要求太简单，满口答应，结果发现倾全国之力也拿不出这么多麦粒。

麦粒总数是$a_1 = 1$、$q = 2$、$n = 64$的等比数列前64项和。这里$q = 2 > 1$，正好用分母为$q - 1$的形式：

$$S_{64} = \dfrac{1 \cdot (2^{64} - 1)}{2 - 1} = 2^{64} - 1 = 18446744073709551615,$$

约$1.84 \times 10^{19}$粒。这是天文数字：即使按现代全世界小麦的年产量估算，也要上千年才能凑够（此估算依赖每粒麦子的重量假设，仅作直观感受）。

第4章 数列求和

本章导语

本章把“求前 n 项和”从等差、等比推广到更多类型：分组求和、倒序相加、裂项相消、错位相减四种常用方法。它们是高考数列解答题的中坚题型。

本章结构

• 1.4.1 分组求和与倒序相加 —— 分组求和、倒序相加的适用情形与操作
• 1.4.2 裂项相消与错位相减 —— 常见裂项式、错位相减的完整流程

1.4.1 分组求和与倒序相加

本节前置

• 等差数列的前 n 项和与性质
• 等比数列的前 n 项和与性质
• 数列的概念与表示

严谨定义

方法 1（分组求和法）

适用条件：数列$\{a_n\}$的通项$a_n$可以拆成若干部分之和，每一部分分别构成等差数列、等比数列或常数列。

操作步骤：

1. 拆项：把$a_n$写成"等差部分 + 等比部分 + ……"的形式；
2. 分别求和：每一部分分别用等差数列、等比数列的求和公式，常数列部分直接数项数；
3. 合并化简：把各部分的求和结果相加，整理成最简形式，得到$S_n$。

方法 2（倒序相加法）

适用条件：$S_n$满足"与首末两项等距离的两项之和为定值"，即$a_k + a_{n+1-k}$恒为常数（或与$k$无关的式子），其中$k = 1, 2, \ldots, n$。

操作步骤：

1. 正写：$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$；
2. 倒写：$S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1$；
3. 相加：$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)$；
4. 化简：每对之和同为$c$，则$2S_n = n \cdot c$，故$S_n = \dfrac{n \cdot c}{2}$。

准则 1（倒序相加的适用特征）

判断能否用倒序相加法，标准只有一条：验证$a_k + a_{n+1-k}$是否恒为常数（或与$k$无关的式子）。

• 恒为常数$c$：可用，且$2S_n = n \cdot c$；
• 随$k$变化：括号里的值各不相同，无法统一化简，改用其他方法。

详细讲解

（1）四种方法的地图

到目前为止，我们已经会算两类数列的前$n$项和：等差数列的前$n$项和（由倒序相加推导）与等比数列的前$n$项和（由错位相减推导）。

这两套思路可以提炼成四种常用的求和方法：

• 分组求和法：通项拆成若干部分，每部分分别求和；
• 倒序相加法：正写一遍、倒写一遍，两两配对相加；
• 裂项相消法：把一项拆成两项之差，前后项互相抵消；
• 错位相减法：乘以公比后错位相减。

本节讲前两种（分组求和法、倒序相加法），下节讲后两种（裂项相消法、错位相减法）。

（2）倒序相加：从等差数列里学到的办法

在第 1.2.2 节，等差数列的前$n$项和公式，是靠"倒着写一遍再相加"推出来的。设$\{a_n\}$是等差数列，记$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，正写一遍：

$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$

再倒写一遍：

$$S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1$$

两式相加，上下对齐的项两两配对：

$$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)$$

等差数列有性质：与首末两项等距离的两项之和相等，即$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots = a_k + a_{n+1-k}$。

所以右边$n$个括号全是同一个值，$2S_n = n(a_1 + a_n)$，进而$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$。

当时，倒序相加只是"推导等差求和公式的工具"。现在换一个视角：正写一遍、倒写一遍、两两相加这套操作本身，就是一个可以推广的通用方法——倒序相加法。只要配对后的和为定值，不管数列是不是等差数列，方法都成立。

（3）倒序相加的适用特征

倒序相加不是万能钥匙，它的全部威力来自一条性质：与首末两项等距离的两项之和为定值。

可以这样想象：一队人从两头往中间握手，第$1$个与最后$1$个握，第$2$个与倒数第$2$个握……每一对握手的人，到两端的距离一样远。

用记号说：在$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$里，第$k$项$a_k$与第$n+1-k$项$a_{n+1-k}$互为"等距离对"。

为什么等距离？$a_k$距首项$a_1$有$k-1$步，$a_{n+1-k}$距末项$a_n$也有$k-1$步：两边各走$k-1$步，正好碰头。

能不能用倒序相加，就看这些配对的和是不是定值：$a_k + a_{n+1-k}$恒为常数（或与$k$无关的式子）吗？

• 是：每对之和同为$c$，可用；
• 否：括号里的值随$k$变化，无法统一化简，换方法。

这里的"定值"，指与$k$无关。它可以含有$n$，比如等差数列里的$a_1 + a_n$就含有$n$——因为求和时$n$是固定的，只要不随$k$变就行。

验证通过后为什么能化简？把两式相加：

$$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)$$

右边共有$n$个括号，每个括号都是$c$：

$$2S_n = \underbrace{c + c + \cdots + c}_{n\text{个}} = n \cdot c$$

$$S_n = \dfrac{n \cdot c}{2}$$

注意 用倒序相加前，必须先把$a_k + a_{n+1-k}$真正算一算，验证它确实是定值，不能想当然。
当$n$为奇数时，最中间一项自己与自己配对，括号里是$2a_{(n+1)/2}$；准则要求它也等于$c$，故$2S_n = nc$依然成立，无需单独处理。

（4）配对思想的应用：函数值求和

配对思想不限于数列：只要和式里的项能两两配成定值，就能用。看一个高考常见的函数例子：

示例 已知$f(x) = \dfrac{4^x}{4^x + 2}$，求$S = f\left(\dfrac{1}{11}\right) + f\left(\dfrac{2}{11}\right) + \cdots + f\left(\dfrac{10}{11}\right)$的值。

第一步，找"配对性质"。把$f(x)$与$f(1-x)$加起来试试：

$$f(1-x) = \dfrac{4^{1-x}}{4^{1-x} + 2}$$

分子分母同乘$4^x$，把负指数消掉：

$$f(1-x) = \dfrac{4^{1-x} \cdot 4^x}{(4^{1-x} + 2) \cdot 4^x} = \dfrac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \dfrac{2}{2 + 4^x}$$

于是：

$$f(x) + f(1-x) = \dfrac{4^x}{4^x + 2} + \dfrac{2}{4^x + 2} = \dfrac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$$

这就是定值：对任意$x$，$f(x) + f(1-x) = 1$。

第二步，把和式两两配对。要加的是$f\left(\dfrac{1}{11}\right), f\left(\dfrac{2}{11}\right), \ldots, f\left(\dfrac{10}{11}\right)$。注意$\dfrac{k}{11}$与$\dfrac{11-k}{11}$相加等于$1$，即$\dfrac{11-k}{11} = 1 - \dfrac{k}{11}$，所以：

$$f\left(\dfrac{k}{11}\right) + f\left(\dfrac{11-k}{11}\right) = f\left(\dfrac{k}{11}\right) + f\left(1 - \dfrac{k}{11}\right) = 1$$

$k$取$1$到$5$，正好配成$5$对：

$$S = \left[f\left(\dfrac{1}{11}\right) + f\left(\dfrac{10}{11}\right)\right] + \left[f\left(\dfrac{2}{11}\right) + f\left(\dfrac{9}{11}\right)\right] + \cdots + \left[f\left(\dfrac{5}{11}\right) + f\left(\dfrac{6}{11}\right)\right]$$

每对都是$1$，共$5$对：

$$S = 1 + 1 + \cdots + 1 = 5$$

注意 这类题的共同特征：自变量的配对和等于$1$（或某个常数），函数值配对后成定值。
这正是"$a_k + a_{n+1-k}$为定值"在函数形式下的翻版。前提是先验证$f(x) + f(1-x)$确实为定值，再放心配对。

（5）分组求和：把一篮子水果按种类分拣

设想一篮子水果混着苹果、香蕉、橙子，要数清总数，最省事的办法是先把同类拣到一堆，分别数，再相加。分组求和法就是这个思路：通项$a_n$本身是"混着"的，把它拆开，让每一部分恰好是我们已经会求和的数列。

判断能不能用分组求和，看通项的形状：$a_n$能拆成若干部分之和，且每一部分分别是等差数列、等比数列或常数列。

常见的可分形态：

示例 $a_n = 2n + 3^n$：$2n$是等差部分，$3^n$是等比部分。
示例 $a_n = 2n + (-1)^n$：$2n$是等差部分，$(-1)^n$是等比部分（公比$q = -1$）。
示例 $a_n = n + 2^{n-1}$：$n$是等差部分，$2^{n-1}$是等比部分（首项$1$，公比$2$）。

（6）分组求和的完整操作：$a_n = 2n + 3^n$

以$a_n = 2n + 3^n$为例，把三步走完整。

第一步，拆项。前几项是$a_1 = 5$，$a_2 = 13$，$a_3 = 33$……每一项都是"$2k$加上$3^k$"：

$$S_n = (2\cdot 1 + 3^1) + (2\cdot 2 + 3^2) + \cdots + (2n + 3^n)$$

用加法交换律、结合律重新排列，等差的部分放一起，等比的部分放一起：

$$S_n = (2 + 4 + \cdots + 2n) + (3 + 9 + \cdots + 3^n)$$

注意 重新排列时，每一项的两个部分都要原样带过去，一个都不能丢。分组求和最常见的错误是漏项：要么丢了$2k$，要么丢了$3^k$。

第二步，分别求和。等差部分$2 + 4 + \cdots + 2n$，首项$2$，末项$2n$，共$n$项：

$$\sum_{k=1}^{n} 2k = \dfrac{n(2 + 2n)}{2} = n(n+1)$$

等比部分$3 + 9 + \cdots + 3^n$，首项$3$，公比$3$：

$$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \dfrac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \dfrac{3(3^n - 1)}{2}$$

第三步，合并化简：

$$S_n = n(n+1) + \dfrac{3(3^n - 1)}{2}$$

示例 验证：取$n = 2$。直接算$S_2 = a_1 + a_2 = 5 + 13 = 18$；用公式得$2 \times 3 + \dfrac{3(3^2 - 1)}{2} = 6 + 12 = 18$。一致。

（7）等比部分要讨论 $q = 1$

分组后，某一部分可能"名义上是等比、实际是常数列"，即公比$q = 1$。等比求和公式$\dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$在$q = 1$时分母为$0$，不能直接用。这时这一部分的和就是"$n$个相同的项相加"，等于$n \cdot a_1$。

示例 求$a_n = 2n + 1$的前$n$项和$S_n$。
拆成等差部分$2n$与"等比部分"$1$，其中$1$是公比$q = 1$的常数列。
等差部分：$\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$；常数列部分：$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$。
合并：$S_n = n(n+1) + n = n^2 + 2n$。

注意 只要某一部分是常数列（公比$q = 1$），就数项数、别套等比公式。判断是不是常数列，看相邻两项是否相等即可。

（8）方法选择小结

四种方法的选用归结如下（后两种下节讲）：

方法	适用特征	关键操作	示例
分组求和法	通项能拆成若干等差、等比或常数列部分之和	拆项 → 各部分分别求和 → 合并化简	$a_n = 2n + 3^n$
倒序相加法	$a_k + a_{n+1-k}$恒为定值（与$k$无关）	正写一遍、倒写一遍、两两相加	等差数列求和、$f(x) = \dfrac{4^x}{4^x+2}$型
裂项相消法	通项能拆成两项之差，前后项互相抵消	拆项 → 相消 → 只剩首尾若干项	下节讲
错位相减法	通项是"等差乘等比"的形式	乘公比、错位相减	下节讲

历史背景

倒序相加的配对思想，最著名的故事与高斯有关。相传高斯上小学时，老师让学生计算$1 + 2 + \cdots + 100$，别的孩子还在埋头逐项相加，高斯很快报出$5050$。他的办法正是首尾配对：$1 + 100 = 101$，$2 + 99 = 101$，……，$50 + 51 = 101$，共$50$对，总和为$50 \times 101 = 5050$。这个故事流传极广，但细节属传说，故标"相传"。

求和符号$\sum$的历史：$\sum$是希腊字母$\Sigma$（sigma）的大写，取"和"之意。据数学史记载，莱布尼茨与傅里叶都使用过$\sum$表示求和，欧拉在18世纪的著作中推广了这一记号，使其成为通用写法【待核：欧拉推广莱布尼茨/傅里叶记号的准确细节】。

分组求和背后的原理——"和可以拆开分别相加"，即$\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}b_k$——是加法交换律与结合律的直接推论，这一思想自古就有，数列求和只是把它用得更系统。

1.4.2 裂项相消与错位相减

本节前置

• 等比数列的前 n 项和与性质
• 分组求和与倒序相加
• 等差数列的前 n 项和与性质

严谨定义

方法 1（裂项相消法）
若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式能写成 $a_n = b_n - b_{n+1}$（或 $a_n = b_{n+1} - b_n$）的形式，即"拆成相邻两项之差"，则求前 $n$ 项和时中间项一正一负两两相消，只剩首、尾附近的少数几项。这种求和方法称为裂项相消法。

注意 裂项相消法的前提是"能拆、能接上"：把通项拆成两项之差后，相邻括号要能衔接，即后一项的"头"恰是前一项"尾"的相反数。

裂项式 1

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

对一切正整数 $n$ 成立。

裂项式 2

$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$$

其中 $k$ 是题目给定的固定常数（不随 $n$ 变化），对一切正整数 $n$ 成立。

裂项式 3

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$

对一切正整数 $n$ 成立。

裂项式 4（根式型）

$$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$

对一切正整数 $n$ 成立。

裂项式 5（阶乘型，了解即可）

$$\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$$

对一切正整数 $n$ 成立。

方法 2（错位相减法）
设 $\{b_n\}$ 是等差数列（公差为 $d$），$\{c_n\}$ 是等比数列（公比为 $q$，$q \neq 1$），令 $a_n = b_n \cdot c_n$。求前 $n$ 项和 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，按以下四步操作：

1. 写出 $S_n = b_1 c_1 + b_2 c_2 + \cdots + b_n c_n$；
2. 两边同乘 $q$，得 $qS_n = b_1 c_2 + b_2 c_3 + \cdots + b_n c_{n+1}$，并与上式错开一位对齐；
3. 相减得 $(1-q)S_n = b_1 c_1 + d(c_2 + c_3 + \cdots + c_n) - b_n c_{n+1}$，中间项全部相消；
4. 除以 $(1-q)$，得 $S_n$ 的表达式。

注意 若 $q = 1$，则 $\{c_n\}$ 是常数列，$a_n = b_n \cdot c_1$ 退化为等差数列，直接用等差数列求和公式，不需要错位相减。

详细讲解

（1）裂项相消法想干什么
求和最怕"每一项都要单独算"。裂项相消法的思路是：把每一项 $a_n$ 改写成两项之差 $b_n - b_{n+1}$，让"前一项的尾巴"正好是"后一项的头"的相反数，加起来就互相抵掉。

示例 看三项：$\dfrac{1}{1\cdot2} = 1 - \dfrac12$，$\dfrac{1}{2\cdot3} = \dfrac12 - \dfrac13$，$\dfrac{1}{3\cdot4} = \dfrac13 - \dfrac14$。

把三个式子相加，$\dfrac12$ 与 $-\dfrac12$ 相消，$\dfrac13$ 与 $-\dfrac13$ 相消，只剩 $1$ 和 $-\dfrac14$：

$$\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} = 1 - \frac14 = \frac34$$

示例 数字验证：$\dfrac12 + \dfrac16 + \dfrac1{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$，与裂项结果一致。

这就像把一根积木从中间劈开，求和时正负两块又互相抵掉，只剩下两头。

（2）裂项式 1 是怎么来的
从右往左看：把 $\dfrac1n - \dfrac1{n+1}$ 通分，公分母是 $n(n+1)$：

$$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$$

分子 $(n+1)-n = 1$，正好是 $1$，所以两边相等，不需要任何系数。

示例 代入 $n=2$：$\dfrac{1}{2\cdot3} = \dfrac16$，而 $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac{3-2}{6} = \dfrac16$，两边相等。

（3）裂项式 2：系数 $\dfrac1k$ 从哪来
把 $\dfrac1n - \dfrac1{n+k}$ 通分，公分母是 $n(n+k)$：

$$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} = \frac{n+k}{n(n+k)} - \frac{n}{n(n+k)} = \frac{k}{n(n+k)}$$

分子是 $k$，不是 $1$！要让右边变成 $\dfrac{1}{n(n+k)}$（分子为 $1$），必须整体除以 $k$：

$$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$$

注意 系数 $\dfrac1k$ 是易错点：分母的两个因子相差 $k$，通分后分子就是 $k$，所以要乘 $\dfrac1k$ 补回来。漏掉它，结果会差 $k$ 倍。

示例 代入 $n=2$、$k=3$：$\dfrac{1}{2\cdot5} = \dfrac1{10}$；而 $\dfrac13\left(\dfrac12 - \dfrac15\right) = \dfrac13 \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac1{10}$，两边相等。

（4）裂项式 3：分母是相邻的奇数
分母 $(2n-1)(2n+1)$ 的两个因子相差 $2$，正是裂项式 2 中 $k=2$、把 $n$ 换成 $2n-1$ 的情形：

$$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$

示例 代入 $n=1$：$\dfrac{1}{1\cdot3} = \dfrac13$；而 $\dfrac12\left(1 - \dfrac13\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac23 = \dfrac13$，两边相等。

（5）裂项式 4：根式靠"有理化"
分母是 $\sqrt{n} + \sqrt{n+1}$，分子是 $1$。用有理化处理：分子分母同乘 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$：

$$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})}$$

用平方差公式，分母变成 $(n+1) - n = 1$，于是：

$$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$

示例 代入 $n=1$：$\dfrac{1}{1+\sqrt2} \approx 0.414$，而 $\sqrt2 - 1 \approx 0.414$，两边相等。

（6）裂项式 5：阶乘型（了解即可）
因为 $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$，所以 $\dfrac{1}{n!} = \dfrac{n+1}{(n+1)!}$，于是：

$$\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{n}{(n+1)!}$$

即 $\dfrac{n}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n!} - \dfrac{1}{(n+1)!}$。这类式子高考要求不高，会拆会用即可。

（7）完整示例：求 $\dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}$
要求 $S_n = \dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}$。

第 1 步：逐项裂开。每一项 $\dfrac{1}{k(k+1)}$ 用裂项式 1 拆成 $\dfrac1k - \dfrac1{k+1}$：

$$S_n = \left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \left(\frac13 - \frac14\right) + \cdots + \left(\frac1n - \frac1{n+1}\right)$$

第 2 步：找相消对。看括号之间的衔接：第一个括号的尾巴 $-\dfrac12$ 被第二个括号的头 $\dfrac12$ 抵消；第二个括号的尾巴 $-\dfrac13$ 被第三个括号的头 $\dfrac13$ 抵消；依此类推。

第 3 步：写下残留项。中间的 $\dfrac12, \dfrac13, \ldots, \dfrac1n$ 全部成对相消，只剩第一个括号的头 $1$ 和最后一个括号的尾巴 $-\dfrac1{n+1}$：

$$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$

验证 代入 $n=3$：原式 $\dfrac12 + \dfrac16 + \dfrac1{12} = \dfrac34$，公式 $\dfrac{3}{3+1} = \dfrac34$，一致。

注意 若分子是常数 $c$（如 $\dfrac{2}{n(n+1)}$），把 $c$ 提到最前面再裂项：$\dfrac{2}{n(n+1)} = 2\left(\dfrac1n - \dfrac1{n+1}\right)$，求和结果再乘 $c$ 即可。这就是"分子是常数"的用武之地。

（8）相消后剩哪些项
最简单的情形：如果 $a_n = b_n - b_{n+1}$，那么前 $n$ 项和展开后，$b_2, b_3, \ldots, b_n$ 都一正一负成对出现，只剩 $b_1$ 和 $-b_{n+1}$，即 $S_n = b_1 - b_{n+1}$。

但当裂项式的间隔 $k > 1$ 时，残留项会变多。比如 $k=2$ 时：

$$\frac{1}{n(n+2)} = \frac12\left(\frac1n - \frac1{n+2}\right)$$

前 $n$ 项展开后，$1$ 和 $\dfrac12$ 没有"头"来抵消它们，$\dfrac1{n+1}$ 和 $\dfrac1{n+2}$ 没有"尾巴"来抵消它们，于是残留四项：

$$\frac12\left(1 + \frac12 - \frac1{n+1} - \frac1{n+2}\right)$$

验证 代入 $n=2$：原式 $\dfrac{1}{1\cdot3} + \dfrac{1}{2\cdot4} = \dfrac13 + \dfrac18 = \dfrac{11}{24}$；公式 $\dfrac12\left(1 + \dfrac12 - \dfrac13 - \dfrac14\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac{11}{12} = \dfrac{11}{24}$，一致。

注意 "剩哪些项"要具体问题具体分析：先把前几项和最后几项展开，看哪些项找不到配对，那些就是残留项，不能机械套"只剩首尾两项"。

再看裂项式 3 和裂项式 4 的残留：中间项全部相消后，都只剩首尾两项。

$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\left(1 - \frac1{2N+1}\right) = \frac{N}{2N+1}$$

$$\sum_{n=1}^{N}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = \sqrt{N+1} - 1$$

验证 取 $N=1$：$\dfrac{1}{1\cdot3} = \dfrac13$，公式 $\dfrac{1}{2\cdot1+1} = \dfrac13$；$\dfrac{1}{1+\sqrt2} = \sqrt2 - 1$。都一致。

（9）错位相减法：为什么需要它
如果 $a_n = n \cdot 2^{n-1}$（等差数列 $n$ 乘等比数列 $2^{n-1}$），既不能用等差数列公式，也不能直接用等比数列公式，分组求和也行不通。

回顾 1.3.2 节推导等比数列前 $n$ 项和时的一招：写出 $S_n$ 和 $qS_n$ 两行，错开一位相减，中间项全消。对"等差 × 等比"混合数列，把同样的招数再用一遍，中间项也能消——这就是错位相减法。

（10）四步操作，每一步为什么
设 $a_n = b_n \cdot c_n$，其中 $\{b_n\}$ 是等差数列（公差 $d$），$\{c_n\}$ 是等比数列（公比 $q$，$q \neq 1$）。

第 1 步：写出和式 $S_n = b_1 c_1 + b_2 c_2 + \cdots + b_n c_n$。

第 2 步：两边同乘 $q$。因为 $c_{i+1} = q c_i$，所以 $qS_n = b_1 c_2 + b_2 c_3 + \cdots + b_n c_{n+1}$。

为什么"错开一位"：$qS_n$ 的第 $i$ 项是 $b_i c_{i+1}$，它含 $c_{i+1}$，应对齐 $S_n$ 中含 $c_{i+1}$ 的位置——即 $S_n$ 第 $i$ 项与第 $i+1$ 项的中间。

这样对齐后，每一列都是"同一个 $c$"配上两个相邻的 $b$，相减时就能利用等差数列"相邻两项差为常数 $d$"。

先看 $n=3$、$a_n = n \cdot 2^{n-1}$ 的具体样子。两行错开一位写：

$$S_3 = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot2^2$$

$$2S_3 = 1\cdot2 + 2\cdot2^2 + 3\cdot2^3$$

把 $2S_3$ 整体往右错开一位：让它的 $1\cdot2$ 对准 $S_3$ 的 $2\cdot2$，$2\cdot2^2$ 对准 $3\cdot2^2$。相减后：$1\cdot1$ 单独留下；每一列留下 $(b_{i+1} - b_i)\cdot c_{i+1} = 1\cdot c_{i+1}$；最后剩 $-3\cdot2^3$：

$$S_3 - 2S_3 = 1 + 2 + 2^2 - 3\cdot2^3$$

中间 $2 + 2^2$ 正是"等差部分的差 $d=1$ 乘等比项"的和。这个模式对一般的 $n$ 完全一样，对一般情形的推导如下。

第 3 步：相减 $S_n - qS_n$。第一项只剩 $b_1 c_1$；每一列 $c_{i+1}$（$i = 1, 2, \ldots, n-1$）给出 $(b_{i+1} - b_i)c_{i+1} = d \cdot c_{i+1}$；最后一项是 $-b_n c_{n+1}$：

$$(1-q)S_n = b_1 c_1 + d(c_2 + c_3 + \cdots + c_n) - b_n c_{n+1}$$

中间的 $c_2 + c_3 + \cdots + c_n$ 是等比数列的前 $n-1$ 项和（首项 $c_2$，公比 $q$），用 1.3.2 节的公式：

$$(1-q)S_n = b_1 c_1 + d \cdot \frac{c_2(1 - q^{n-1})}{1-q} - b_n c_{n+1}$$

第 4 步：两边除以 $(1-q)$，就得到 $S_n$。

（11）完整示例：$a_n = n \cdot 2^{n-1}$
这里 $b_n = n$（等差数列，公差 $d=1$），$c_n = 2^{n-1}$（等比数列，公比 $q=2$）。注意 $c_1 = 2^0 = 1$。

第 1 步：写出和式

$$S_n = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot2^2 + \cdots + n\cdot2^{n-1}$$

第 2 步：两边乘 $2$，错开一位

$$2S_n = 1\cdot2 + 2\cdot2^2 + \cdots + (n-1)\cdot2^{n-1} + n\cdot2^n$$

第 3 步：相减 $S_n - 2S_n$。中间每一列 $2^j$（$j = 1, 2, \ldots, n-1$）相减后都剩下 $(j+1)\cdot2^j - j\cdot2^j = 1\cdot2^j$：

$$-S_n = 1 + (2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - n\cdot2^n$$

中间括号是等比数列前 $n-1$ 项和：$2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 2$。于是：

$$-S_n = 1 + (2^n - 2) - n\cdot2^n = (1-n)2^n - 1$$

第 4 步：两边乘 $-1$：

$$S_n = (n-1)2^n + 1$$

验证 $n=1$：$S_1 = 1$，公式 $(1-1)\cdot2 + 1 = 1$；$n=2$：$S_2 = 1 + 4 = 5$，公式 $(2-1)\cdot4 + 1 = 5$。一致。

（12）错位相减的易错点

• 乘公比时每一项都要乘，不能只乘几项；
• 对齐必须错开一位，$qS_n$ 第 $i$ 项对 $S_n$ 第 $i$ 项与第 $i+1$ 项之间；
• 相减时中间列都是正号（$d \cdot c_{i+1}$），符号别搞反；
• 中间的等比部分共 $n-1$ 项，首项是 $c_2 = c_1 q$，不是 $c_1$；
• 最后要除以 $(1-q)$；若先得的是 $-S_n$，乘 $-1$ 时整体变号；
• 化简时提公因式，如 $n\cdot2^n - 2^n = (n-1)2^n$。

（13）四种求和方法总览

方法	适用特征	关键步骤
分组求和法	通项可拆成几部分，各部分分别是等差或等比	拆开，每组分别求和，再相加
倒序相加法	首末等距的两项之和为定值	正写一遍加倒写一遍，除以 $2$
裂项相消法	通项可拆成两项之差，分母常为相邻项乘积	拆项，中间正负相消，只剩首尾
错位相减法	通项是"等差 $\times$ 等比"	乘公比、错位、相减、除以 $1-q$

判断思路（看到什么结构就用什么方法）：

• 分母是相邻（或间隔固定）项的乘积、分子是常数 → 尝试裂项相消；
• 通项形如"等差 $\times$ 等比" → 错位相减；
• 通项是几类数列相加 → 分组求和；
• 首末等距的两项之和为定值 → 倒序相加。

历史背景

"把式子拆成两项之差、求和时中间相消"的思路由来已久。公元前 3 世纪，阿基米德计算抛物弓形面积时，把弓形不断分割，得到形如 $T\left(1 + \dfrac14 + \dfrac1{16} + \cdots\right)$ 的无穷求和，最终算出弓形面积是内接三角形面积的 $\dfrac43$ 倍【待核：阿基米德原文用的是穷竭法的有限步论证，现代教材常将其改写为等比级数求和】。这一"无穷求和"与本节"相消后只剩首尾"的思想一脉相承。

17 世纪，意大利数学家门戈利（P. Mengoli）在研究级数时，明确用拆项的方法得到 $\dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \cdots = 1$【待核：门戈利著作的名称、年份及其论证细节】。这是"裂项相消"作为明确技巧的早期例子。

中国古代的《九章算术》（约成书于西汉末至东汉初，公元 1 世纪前后）中的"衰分""盈不足"等章，包含大量等差、等比数列求和的实用问题（如"女子善织"等），说明数列求和是古代数学的重要课题【待核：《九章算术》相关题目的具体归类】；不过当时用的是比例算法，尚未形成"裂项"这样的一般技巧。

"错位相减"的操作内核——乘公比后错位对齐、相减消去中间项——正是 1.3.2 节等比数列求和公式推导的推广。早在公元前 3 世纪，欧几里得《几何原本》第 IX 卷命题 35 就用等价于"乘公比相减"的比例方法证明了等比数列求和公式【待核：《几何原本》命题 35 的证明方式是否为乘公比相减】。把这一方法系统移植到"等差 × 等比"混合数列并命名为"错位相减法"，是现代中学教材的整理【待核："错位相减法"名称的教材出处】。

第5章 递推与综合应用

本章导语

本章收束全书：已知递推关系求通项（累加、累乘、构造法）、由 S_n 求 a_n、数列与函数和不等式的综合，以及数学归纳法初步。学完本章，数列的完整图景就成型了。

本章结构

• 1.5.1 常见递推数列的构造求解 —— 由 Sn 求 an、累加累乘、a_{n+1}=pa_n+q 构造
• 1.5.2 数列与函数、不等式的综合应用 —— 综合应用、实际模型与数学归纳法初步

1.5.1 常见递推数列的构造求解

本节前置

• 数列的分类、递推公式与单调性
• 等比数列的前 n 项和与性质
• 等差数列的前 n 项和与性质
• 比较大小的方法与幂的运算

以上四项是本节的地基，尤其是"递推公式"的含义、等差与等比数列的求和公式，本节会反复使用。

严谨定义

定理 1（由 S_n 求 a_n）
设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$。首项满足$a_1 = S_1$；当$n \ge 2$时，有

$$a_n = S_n - S_{n-1}.$$

公式只对$n \ge 2$保证成立。完整的求解步骤是：第一步，由$a_1 = S_1$求首项；第二步，当$n \ge 2$时用$a_n = S_n - S_{n-1}$求通项；第三步，把$n = 1$代入第二步的通项验证是否与$a_1$一致，一致就统一写成一个式子，不一致就写成分段形式。

方法 2（累加法）
若数列$\{a_n\}$满足递推公式

$$a_{n+1} - a_n = f(n) \quad (n \ge 1),$$

则当$n \ge 2$时，

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k) = a_1 + f(1) + f(2) + \cdots + f(n-1).$$

应用前提：$f(1) + f(2) + \cdots + f(n-1)$能求出一个不含求和号的封闭结果（等差型、等比型或其他可求和的形式）；首项$a_1$由题目给出。

方法 3（累乘法）
若数列$\{a_n\}$满足递推公式

$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = f(n) \quad (n \ge 1),$$

且各项$a_n \neq 0$，则当$n \ge 2$时，

$$a_n = a_1 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} f(k) = a_1 \cdot f(1) \cdot f(2) \cdots f(n-1).$$

方法 4（构造法）
若数列$\{a_n\}$满足递推公式

$$a_{n+1} = p a_n + q \quad (n \ge 1),$$

其中$p \neq 1$。令

$$t = \dfrac{q}{p-1},$$

则$\{a_n + t\}$是首项为$a_1 + t$、公比为$p$的等比数列，从而

$$a_n = (a_1 + t)p^{n-1} - t.$$

若$p = 1$，递推式化为$a_{n+1} = a_n + q$，即公差为$q$的等差数列，直接用等差数列通项公式，不适用构造法。

详细讲解

（1）第 5 章的任务：把"邻居关系"翻译成"直接公式"
1.1.2 节讲过：递推公式给的是"邻居关系"（$a_{n+1}$由$a_n$决定），通项公式给的是"直接公式"（第$n$项一步算出）。由递推求通项，就是把邻居关系翻译成直接公式。

前几节学过的求和工具本节全都要用上：累加法、累乘法的答案是一串和式、积式，最后要靠等差数列求和、等比数列求和等公式算出封闭结果。

（2）由 S_n 求 a_n：为什么是"两项相减"
把$S_n$写开：$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n$；把$S_{n-1}$写开：$S_{n-1} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$。

两式相减，前$n-1$项一一对应、完全抵消，只剩$a_n$，所以$S_n - S_{n-1} = a_n$。类比账本：$S_n$是"前$n$项的总账"，$S_{n-1}$是"前$n-1$项的总账"，两笔总账相减，多出来的正是第$n$项这笔账。

为什么$n \ge 2$不能省？因为$S_{n-1}$要求"前$n-1$项"至少有一项，即$n - 1 \ge 1$，也就是$n \ge 2$。若$n = 1$，则$S_{n-1} = S_0$，而"前$0$项的和"从来没有定义过。

（3）分三步走，第三步最容易丢
由$S_n$求$a_n$必须走完三步：

第一步：$a_1 = S_1$，把$n = 1$代入$S_n$直接算；
第二步：当$n \ge 2$时，$a_n = S_n - S_{n-1}$，化简出含$n$的式子；
第三步：把$n = 1$代入第二步的式子，与$a_1$比较，相等就统一写，不相等就分段写。

注意 "忘记验证$n=1$"是高考数列第一大易错点。第二步的公式只对$n \ge 2$推导有效，它对$n = 1$不一定成立，所以第三步绝不能省。

（4）示例对照：n=1 成立与不成立

示例 已知$S_n = n^2 + n$，求$a_n$。
第一步：$a_1 = S_1 = 1^2 + 1 = 2$。
第二步：当$n \ge 2$时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + n) - [(n-1)^2 + (n-1)]$。
展开：$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$，代入得$a_n = n^2 + n - n^2 + 2n - 1 - n + 1 = 2n$。
第三步：把$n = 1$代入$2n$得$2$，与$a_1 = 2$相等，可以统一写成$a_n = 2n$（$n \ge 1$）。

示例 已知$S_n = 2^n + 1$，求$a_n$。
第一步：$a_1 = S_1 = 2^1 + 1 = 3$。
第二步：当$n \ge 2$时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n + 1) - (2^{n-1} + 1) = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$。
第三步：把$n = 1$代入$2^{n-1}$得$2^0 = 1$，与$a_1 = 3$不相等，必须写成分段形式：

$$a_n = \begin{cases} 3, & n = 1, \\ 2^{n-1}, & n \ge 2. \end{cases}$$

对照两个示例：第一个$S_n$没有常数项，$n = 1$恰好衔接；第二个$S_n$带常数$+1$，相减时$+1$与$+1$抵消，第二步的通项"看不见"这个常数，但它确实贡献给了$a_1$，于是$n = 1$对不上。

换个角度再确认：若$a_n = 2^{n-1}$对一切$n$成立，由等比数列求和得$S_n = 2^n - 1$；而题目给的是$2^n + 1$，正好多出$2$——这$2$就是$a_1 = 3$与$2^0 = 1$的差。所以判断标准永远是"代入验证"，不要凭感觉猜。

（5）累加法：把台阶逐级叠起来
递推形如$a_{n+1} - a_n = f(n)$：相邻两项的差是已知数列$f(n)$。这类问题的解法叫累加法。把$n = 1, 2, \ldots, n-1$分别代入，写出一串等式：

$$a_2 - a_1 = f(1), \quad a_3 - a_2 = f(2), \quad \ldots, \quad a_n - a_{n-1} = f(n-1).$$

把左边全部相加：$(a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_n - a_{n-1})$。中间每一项$a_k$先加一次、再减一次，全部抵消，只剩$a_n - a_1$。右边相加得$f(1) + f(2) + \cdots + f(n-1)$。于是

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k).$$

类比台阶：每两级之间的高差是$f(1), f(2), \ldots$，把这些高差一级一级加起来，就是从第$1$级到第$n$级的总升高；再加上起点高度$a_1$，就是第$n$级的高度$a_n$。这就是"累加"。

注意 求和范围是从$k = 1$到$k = n-1$，不是到$n$。因为从$a_1$到$a_n$一共只有$n-1$个相邻差：$a_2 - a_1$是第$1$个，$a_n - a_{n-1}$是第$n-1$个。上限数错是最常见的失误。

特例：若$f(n)$恒为常数$d$，累加法退化为等差数列求和；若$f(n)$是等比型（如$2^n$），右边是等比数列求和。这正是前几节求和公式的用武之地。

（6）累加法示例

示例 已知$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + 2n$，求通项公式。
第一步：写成标准形$a_{n+1} - a_n = 2n$，即$f(n) = 2n$。
第二步：写出各相邻差：$a_2 - a_1 = 2 \cdot 1$，$a_3 - a_2 = 2 \cdot 2$，……，$a_n - a_{n-1} = 2(n-1)$。
第三步：全部相加，得$a_n - a_1 = 2 \cdot [1 + 2 + \cdots + (n-1)]$。
第四步：$1 + 2 + \cdots + (n-1)$是首项$1$、末项$n-1$、共$n-1$项的等差数列，由等差数列求和公式得$\dfrac{(n-1)[1 + (n-1)]}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$。
第五步：$a_n = 1 + 2 \cdot \dfrac{n(n-1)}{2} = n^2 - n + 1$。
验证：$n = 1$时$n^2 - n + 1 = 1$，与$a_1 = 1$一致；$n = 2$时公式给$3$，递推给$a_2 = a_1 + 2 = 3$，一致。

（7）累乘法：把相邻比连乘起来
递推形如$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = f(n)$：相邻两项的比是已知数列$f(n)$。这类问题的解法叫累乘法。把$n = 1, 2, \ldots, n-1$分别代入：

$$\dfrac{a_2}{a_1} = f(1), \quad \dfrac{a_3}{a_2} = f(2), \quad \ldots, \quad \dfrac{a_n}{a_{n-1}} = f(n-1).$$

把左边全部相乘：$\dfrac{a_2}{a_1} \cdot \dfrac{a_3}{a_2} \cdots \dfrac{a_n}{a_{n-1}}$。相邻分数的分子、分母交叉约分，$a_2$先当分母被约、又当分子被约，……最后只剩$\dfrac{a_n}{a_1}$。右边相乘得$f(1) \cdot f(2) \cdots f(n-1)$。于是

$$\dfrac{a_n}{a_1} = \prod_{k=1}^{n-1} f(k), \quad \text{即} \quad a_n = a_1 \prod_{k=1}^{n-1} f(k).$$

类比：每一项都乘一个倍数，把$n-1$个倍数连乘起来，就是从$a_1$变成$a_n$的总倍数。乘法里的"约分"对应加法里的"抵消"。

注意 累乘法要求每一项$a_n \neq 0$。递推式里出现除法$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$，除数不能为$0$；一旦某项为$0$，这个比就无意义，方法失效。等比数列要求各项与公比都不为$0$（见 1.3 节），所以公比型递推天然满足；若题目给的首项与$f(n)$都是正数，各项也自动不为$0$。

若$f(n)$恒为常数，则$\{a_n\}$就是等比数列，累乘法给出的正是等比通项公式$a_n = a_1 q^{n-1}$——累乘法是等比通项公式的一般化。

（8）累乘法示例

示例 已知$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2^n a_n$，求通项公式。
第一步：写成标准形$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = 2^n$，即$f(n) = 2^n$。
第二步：累乘，$a_n = a_1 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdots 2^{n-1} = 2^{1+2+\cdots+(n-1)}$。
第三步：指数$1 + 2 + \cdots + (n-1) = \dfrac{n(n-1)}{2}$（等差数列求和）。
第四步：$a_n = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}$。
验证：$n = 2$时公式给$2^1 = 2$，递推给$a_2 = 2^1 \cdot 1 = 2$；$n = 3$时公式给$2^3 = 8$，递推给$a_3 = 2^2 \cdot 2 = 8$，一致。

示例 已知$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \dfrac{n}{n+1} a_n$，求通项公式。
第一步：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n}{n+1}$，即$f(n) = \dfrac{n}{n+1}$。
第二步：累乘，$a_n = 1 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdots \dfrac{n-1}{n}$。
第三步：交叉约分：$\dfrac{1}{2}$的分母$2$与$\dfrac{2}{3}$的分子$2$约掉，依次下去，只剩$\dfrac{1}{n}$。
第四步：$a_n = \dfrac{1}{n}$。
验证：$a_2 = \dfrac{1}{2}$，$a_3 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$，一致。这个例子说明：累乘后的连乘式常常能整体约分，得到很简单的答案。

（9）构造法：给数列"换坐标系"
递推形如$a_{n+1} = p a_n + q$（$p \neq 1$）：后一项是前一项的$p$倍再加常数$q$。它既不是等比数列（多了个$q$），也不一定是等差数列。这类问题的解法叫构造法。

核心思想：找一个常数$t$，使得

$$a_{n+1} + t = p(a_n + t).$$

若成立，令$b_n = a_n + t$，则$b_{n+1} = p b_n$，$\{b_n\}$就是公比为$p$的等比数列，等比通项公式直接可用。类比"换坐标系"：原来的刻度看不出规律，把零点平移到$-t$再看，规律立刻显现。

$t$从哪里来？把$a_{n+1} + t = p(a_n + t)$展开：$a_{n+1} + t = p a_n + p t$，移项得$a_{n+1} = p a_n + (p-1)t$。与原递推式$a_{n+1} = p a_n + q$逐项对比，必须有

$$(p-1)t = q, \quad \text{即} \quad t = \dfrac{q}{p-1}.$$

这就是待定系数法：$t$不是猜出来的，而是解这个方程解出来的。

注意 构造法的推导别跳步：一定要自己展开$a_{n+1} + t = p(a_n + t)$、对比系数，亲眼看到$t = \dfrac{q}{p-1}$是怎么来的。直接背结论，很容易在$q$和$p-1$的位置上出错。

（10）构造法示例：完整分步

示例 已知$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$，求通项公式。
第一步：$p = 2$，$q = 1$，$t = \dfrac{q}{p-1} = \dfrac{1}{2-1} = 1$。
第二步：检验$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$：左边$(2a_n + 1) + 1 = 2a_n + 2$，右边$2(a_n + 1) = 2a_n + 2$，相等。
第三步：$\{a_n + 1\}$是首项$a_1 + 1 = 2$、公比$2$的等比数列，所以$a_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。
第四步：移项得$a_n = 2^n - 1$。
验证：$n = 1$时$2^1 - 1 = 1$，等于$a_1$；$n = 2$时递推给$a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$，公式给$2^2 - 1 = 3$；$n = 3$时递推给$7$，公式给$2^3 - 1 = 7$，一致。

（11）为什么构造法"碰巧"总能成功
不是碰巧。目标只有一个：让新数列$\{a_n + t\}$的后一项等于前一项的$p$倍。我们手里恰好有一个自由参数$t$，把它调到满足条件的值即可——方程一个、未知数一个，$p \neq 1$保证方程$(p-1)t = q$有唯一解。这与"设未知数、凑出想要的形状"是同一个思路。

（12）p = 1 的情形：本来就是等差数列
若$p = 1$，递推式变成$a_{n+1} = a_n + q$：后一项比前一项多$q$。这正是 1.2.1 节定义过的等差数列，公差为$q$，通项$a_n = a_1 + (n-1)q$，直接套公式，不需要构造。

用累加法的眼光看也一样：$a_{n+1} - a_n = q$是常值差，累加得$a_n = a_1 + (n-1)q$。两条路殊途同归。

（13）扩展：两种"了解即可"的题型
这两种题型高考要求不高，了解思路即可，本节不展开证明：

注意 $a_{n+1} = p a_n + q^n$型：思路是两边同除以$q^{n+1}$（或同除以$p^{n+1}$），把$a_{n+1}$、$a_n$的系数"配平"，化成前面学过的类型。$a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$二阶型：用前两项推后一项，通解需要特征方程等更高阶工具，超纲，本节不提。

（14）方法选择总览

递推形式	选用方法	关键操作
已知$S_n$	由$S_n$求$a_n$	先$a_1 = S_1$，再$a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \ge 2$），最后验证$n=1$
$a_{n+1} - a_n = f(n)$	累加法	相邻差相加、中间抵消，$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = f(n)$	累乘法	相邻比相乘、交叉约分，$a_n = a_1 \prod_{k=1}^{n-1} f(k)$（要求$a_n \neq 0$）
$a_{n+1} = p a_n + q$（$p \neq 1$）	构造法	令$t = \dfrac{q}{p-1}$，$\{a_n + t\}$成等比
$a_{n+1} = a_n + q$（$p = 1$）	等差数列	公差$q$，$a_n = a_1 + (n-1)q$

（15）概念示例：认出方法
看一个递推式子，先认形式、再选方法，是本节最重要的能力：

示例 只判断方法，不算结果：

• $a_{n+1} - a_n = 3n + 1$：相邻差已知，用累加法；
• $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n}{n+2}$：相邻比已知且各项不为$0$，用累乘法；
• $a_{n+1} = 3a_n + 2$：$p = 3 \neq 1$，用构造法，$t = \dfrac{2}{3-1} = 1$；
• 已知$S_n = n^2$：先$a_1 = 1$，再$a_n = 2n - 1$，验证$n = 1$成立，可统一写。

历史背景

从兔子问题到"递推求通项"
1.1.2 节讲过：1202 年斐波那契在《算盘书》的兔子问题中提出递推$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$，这是递推思想的经典源头。但"由递推公式解出通项公式"古代没有系统方法，人们只能逐项往下推。

直到 18 世纪，棣莫弗（Abraham de Moivre）与欧拉（Leonhard Euler）先后得到斐波那契数列的直接公式——用黄金分割数$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$的幂次表示第$n$项；19 世纪法国数学家比内（Jacques Binet）重新发表，后人常称"比内公式"【待核：比内公式的发现史，常见说法为棣莫弗约 1730 年、欧拉随后独立得到，比内 1843 年重新发表，具体年份与优先级请核对】。这类公式说明"递推求通项"不是雕虫小技，而是有深远历史的课题。

构造法的"化归"血脉
本节的四个方法有个共同点：把陌生问题化归成已知问题——由$S_n$求$a_n$化归成减法，累加法化归成求和，累乘法化归成求积，构造法化归成等比数列。"化归"（把新问题变成已会的问题）是数学最古老、最常用的思想之一。

累加法、累乘法、构造法作为教材里的系统方法，是近代中学数学课程逐步整理成形的【待核：累加法、累乘法、构造法进入中学教材系统讲授的年代与代表教材，暂无把握，请核对】。

汉诺塔：恰好能用本节方法的谜题
1.1.2 节提到卢卡斯设计的汉诺塔谜题：把$n$个圆盘从一根柱子移到另一根柱子，最少移动次数满足$T_1 = 1$，$T_{n+1} = 2T_n + 1$——这正是本节构造法示例的形式。

用构造法解得$T_n = 2^n - 1$。若传说中神庙有$64$层圆盘，需要移动$2^{64} - 1$次，与 1.3.2 节棋盘麦粒问题的总数完全相同——同一个数，从"递推求通项"和"等比数列求和"两个方向各自算了出来。

1.5.2 数列与函数、不等式的综合应用

本节前置

• 常见递推数列的构造求解
• 等差数列的前 n 项和与性质
• 等比数列的前 n 项和与性质
• 函数的图象与单调性
• 实数与不等式的基本性质

以上五项是本节的地基：函数的单调性、最值与比较大小的方法将直接用于研究数列，等差、等比数列的求和公式会在求和与建模中反复出现。

严谨定义

定义 1（数列是函数）
数列$\{a_n\}$可以看作定义在正整数集$\mathbb{N}_{+}$上的函数：自变量是$n$，函数值是$f(n) = a_n$。

因为自变量只能取正整数，数列的图象是一串孤立的点（横坐标为$1, 2, 3, \ldots$），不是一条连续曲线。函数的单调性、最大值最小值、图象等工具，都可以直接用于数列。

定义 2（数列的单调性）
若对一切$n \in \mathbb{N}_{+}$都有$a_{n+1} > a_n$，则称$\{a_n\}$为递增数列；若对一切$n$都有$a_{n+1} < a_n$，则称$\{a_n\}$为递减数列。

把$>$换成$\ge$、$<$换成$\le$，就得到不减数列、不增数列。判定方法有两条：作差法，判断$a_{n+1} - a_n$与$0$的大小关系；作商法，正项数列中比较$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$与$1$的大小关系。

定义 3（数列的最大值与最小值）
若存在正整数$n_0$，使对一切$n \in \mathbb{N}_{+}$都有$a_n \le a_{n_0}$，则称$a_{n_0}$为数列$\{a_n\}$的最大值，第$n_0$项称为最大项。

若对一切$n$都有$a_n \ge a_{n_0}$，则称$a_{n_0}$为最小值，第$n_0$项称为最小项。最大值、最小值未必存在（如递增数列$a_n = n$没有最大值），存在时也未必唯一（如$a_n = n^2 - 9n$在$n = 4$与$n = 5$并列取最小）。

方法 4（放缩法）
要证明$S_n < M$（$M$为常数）：若能找到数列$\{b_n\}$，使每一项都满足$a_k \le b_k$，且$\sum_{k=1}^{n} b_k$能算出封闭结果并满足$\sum_{k=1}^{n} b_k < M$，则由不等式保序性（见 0.3 节）得

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \le \sum_{k=1}^{n} b_k \le M,$$

即$S_n < M$（因为$S_n \le \sum_{k=1}^{n} b_k < M$，中间是严格不等号）。放缩的目标$\{b_n\}$必须"可求和"且"放得不过头"；方向必须一致——证上界就全部放大，不能有的项放大、有的项缩小。

模型 5（等差数列模型）
若某量每经过一个单位时间增加（或减少）同一个常数$d$，即第$n$个单位时间的量为$a_n = a_1 + (n-1)d$，则它服从等差数列模型；前$n$个单位时间的累计量为

$$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}.$$

模型 6（等比数列模型）
若某量每经过一个单位时间变为原来的正倍数$q$（$q > 0$，$q \neq 1$），即$a_n = a_1 q^{n-1}$，则它服从等比数列模型。复利模型是其特例：本金$P$、每期利率$r$、按复利计息$n$期后的本息和为

$$A_n = P(1+r)^n,$$

即首项$P(1+r)$、公比$1+r$的等比数列的通项。

原理 7（数学归纳法原理）
设$P(n)$是与正整数$n$有关的命题，$n_0$是一个正整数。若这两步都完成：

（1）归纳奠基：$P(n_0)$成立；

（2）归纳递推：对任意整数$k \ge n_0$，由"$P(k)$成立"能推出"$P(k+1)$成立"；

则$P(n)$对一切整数$n \ge n_0$都成立。

详细讲解

（1）数列是函数的"离散版"
0.2 节里，函数是"一个数$x$，对应一个数$y$"的规则；数列的通项$a_n$也符合这个模式：位置$n$对应数值$a_n$。

唯一的区别在定义域：函数$x$通常能取一整个区间，而数列的$n$只能取$\mathbb{N}_{+}$里的正整数。

图象上的区别：函数图象是一条连续曲线，数列图象是一串孤立的点。

示例 $a_n = \dfrac{1}{n}$的图象，就是反比例函数$y = \dfrac{1}{x}$在$x = 1, 2, 3, \ldots$处的那些点。
函数能用的工具——单调性、最大值最小值、图象——数列全部能用，只需牢记"自变量只能取正整数"。

（2）用二次函数找最小项：$a_n = n^2 - 10n$
把$n$当$x$看，$a_n = n^2 - 10n$是开口向上的二次函数，对称轴$x = 5$。

连续函数$y = x^2 - 10x$在$x = 5$处取最小值；数列里$5$恰好是正整数，所以最小项就在$n = 5$：

$$a_5 = 25 - 50 = -25.$$

（3）数列最值要看整数点
对称轴不是整数时，数列与连续函数的最值位置就分开了。

注意 $a_n = n^2 - 9n$：对称轴$x = 4.5$，$n$取不到$4.5$，只能在两侧最近的正整数$n = 4$与$n = 5$里比较：$a_4 = 16 - 36 = -20$，$a_5 = 25 - 45 = -20$，两项并列最小。
连续函数$y = x^2 - 9x$的最小值在$x = 4.5$处取到；数列的最小值却在$n = 4$与$n = 5$取到。位置完全不同——这就是"整数点"约束。

（4）单调性的作差判定
以$a_n = \dfrac{n}{n+1}$为例。作差：

$$a_{n+1} - a_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1}.$$

通分：分母$(n+1)(n+2)$，分子$(n+1)^2 - n(n+2) = n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n = 1$。所以

$$a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0,$$

$\{a_n\}$是递增数列。每一步都有理由：分母恒正，符号只看分子；分子恒为$1$，所以差恒大于$0$。

这个数列的项都小于$1$：$a_1 = \dfrac{1}{2}$，$a_2 = \dfrac{2}{3}$，$a_{100} = \dfrac{100}{101}$——递增，且始终不越过$1$。

（5）单调性的作商判定（正项数列）
各项都为正时，作商更方便：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$与$1$比大小，大于$1$递增，小于$1$递减。

同一个例子：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n+1}{n+2} \cdot \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)} = \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n} > 1$，同样得到递增。

注意 作商法只适用于正项数列（每一项都大于$0$）。数列含负数时，乘除会改变大小关系，作商判断会出错，必须用回作差法。作差法没有这个限制，是通用方法。

（6）数列与不等式：先求和，再比较
与数列有关的不等式题，一般思路是"先求和、后比较"：先用第 4 章的四种方法（公式法、分组求和、裂项相消、错位相减）把$S_n$算成封闭结果，再与常数或另一个式子比较。

示例 已知$a_n = 2n - 1$，证明$S_n < n^2 + n$（$n \ge 1$）。
第 1 步（求和）：$\{a_n\}$是等差数列，$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(1 + 2n - 1)}{2} = n^2$；
第 2 步（比较）：$n \ge 1$时$n > 0$，所以$S_n = n^2 < n^2 + n$，得证。

（7）放缩法：把"不能求和"变成"能求和"
有的通项直接求和算不出简单结果，或者算出的和不好与$M$比较。这时用放缩法：把每一项放大成一个"能求和"的项，放大后的和仍小于$M$，原和自然小于$M$。

常用的配方：对$n \ge 2$，

$$\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n(n-1)} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}.$$

为什么放大？分母从$n^2$换成更小的$n(n-1)$，分数变大。为什么有用？右边的差恰好能裂项相消（第 4 章的方法），和能算出来。

示例 证明$S_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} < 2$。
第 1 项单独保留：$n = 1$时$\dfrac{1}{n(n-1)}$的分母为$0$，无意义，所以从第$2$项开始放缩。
对$k = 2, 3, \ldots, n$：$\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}$。
逐项放大并相加：$S_n < 1 + \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}\right)$。
中间项全部抵消，只剩首尾：$S_n < 1 + 1 - \dfrac{1}{n} = 2 - \dfrac{1}{n} < 2$，得证。

另一种配方（了解即可）：$\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n^2 - 1} = \dfrac{1}{(n-1)(n+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n+1}\right)$，这是隔项裂项，求和后留下两组首尾。

注意 放缩方向要一致：证$S_n < M$必须把每一项都放大（或相等），并且放大后的和还得小于$M$。若有的项放大、有的项缩小，比较就失效；若放大过头（和超过$M$），结论也推不出来。放缩的"度"要靠经验与练习把握。

（8）比较 a_n 与 b_n 的大小：作差或作商
要比较两个数列的对应项，沿用 0.3 节的思路：作差看符号，或作商与$1$比。

示例 比较$a_n = n^2$与$b_n = 2n + 1$（$n \ge 3$）的大小。
作差：$a_n - b_n = n^2 - 2n - 1 = (n-1)^2 - 2$。
$n \ge 3$时$(n-1)^2 \ge 4$，所以$a_n - b_n \ge 2 > 0$，即$a_n > b_n$。

（9）实际应用：等差模型——每月固定存钱
应用题建模的完整流程，先看等差模型的例题。

示例（等差模型） 小张每月月初向账户存入固定金额$A$元，不计利息。
第 1 步（列数列）：第$n$个月存入金额$a_n = A$，是公差为$0$的等差数列；
第 2 步（写通项与前 n 项和）：前$n$个月共存入$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = nA$；
第 3 步（作答）：第$n$个月月末账户总额为$nA$元。若$A = 500$、$n = 12$，则总额为$6000$元。

若每月存入金额逐月增加固定数额$d$元，即"均匀变化"，则$a_n = A + (n-1)d$是等差数列，前$n$个月共存入

$$S_n = \dfrac{n[2A + (n-1)d]}{2}.$$

"每期增加（或减少）同一个常数"就是等差模型的识别标志。

（10）实际应用：等比模型——复利

示例（等比模型） 本金$P$元，年利率$r$，每年复利一次（到期利息并入本金，下一年一起计息）。
第 1 年末本息和：$A_1 = P + Pr = P(1+r)$；
第 2 年末：$A_2 = A_1(1+r) = P(1+r)^2$；
第$n$年末：$A_n = P(1+r)^n$，是首项$P(1+r)$、公比$1+r$的等比数列；
作答：$n$年后本息和为$P(1+r)^n$。若$P = 10000$、$r = 3\%$、$n = 5$，则$A_5 = 10000 \times 1.03^5 \approx 11593$元。

对比单利（利息不并入本金）：每年利息固定为$Pr$，本息和$P(1 + nr)$，是等差数列；复利则是等比数列。差别在于利息是否"再生利息"。

等比模型的其他情境：细胞分裂（一个变两个、两个变四个，数量$2^n$）、放射性衰变（每过一个半衰期剩一半）、病毒传播（每天按固定比例增长）。共同特征是"每期乘以同一个倍数"。

（11）分期付款：等额本息模型简介
贷款买房、买车常用等额本息：本金$P$、月利率$r$、分$n$个月还清，每月还款额$X$相同。这个模型理解即可，公式不展开。

设第$k$个月还清后剩余欠款为$B_k$，则$B_0 = P$，$B_n = 0$；每个月欠款先按复利增长一个月，再减去当月还款：

$$B_k = B_{k-1}(1+r) - X.$$

这正是 1.5.1 节构造法$a_{n+1} = p a_n + q$的形式（$p = 1+r$，$q = -X$）：先解出$B_k$，再由$B_n = 0$定出$X$。每月的$X$里包含当月利息和归还的本金两部分，前期利息多、本金少，后期反过来。

模型	每期变化方式	通项	典型情境
等差模型	加同一个常数$d$	$a_n = a_1 + (n-1)d$	每月固定存钱、单利计息
等比模型	乘同一个正倍数$q$	$a_n = a_1 q^{n-1}$	复利、细胞分裂、放射性衰变、病毒传播

（12）建模五步小结

第 1 步（审题）：找出每期变化的方式——是加同一个数，还是乘同一个倍数；
第 2 步（判定）：判定等差模型或等比模型（也可能是混合，分段处理）；
第 3 步（写通项）：写出$a_n$；
第 4 步（求和）：需要时求前$n$项和$S_n$；
第 5 步（作答）：回到原题，注明单位，检查$n$取正整数是否符合实际。

注意 作答要带单位并检查实际意义：金额单位别漏；期数$n$只能取正整数。若算出"$n = 3.7$个月"，要回到情境判断——比如"第$4$个月才达到"，而不是写$3.7$。

（13）数学归纳法：一排多米诺骨牌
数学归纳法用来证明"与正整数$n$有关、要对一切$n \ge n_0$成立"的命题$P(n)$。

类比多米诺骨牌：把$P(1), P(2), P(3), \ldots$排成一排。要保证全部倒下，只需要两件事：第一块倒下（归纳奠基）；任意一块倒下，下一块必定倒下（归纳递推）。第一块倒、第二块倒、第三块倒……一路传下去，全部倒下。

缺一块会怎样？只有"第一块倒"而没有"倒下必传"的规则，第二块之后可能全不倒；只有"传递规则"而没有第一块倒下，第一块就不倒，后面的链子全部断掉。两步缺一不可。

（14）示例：用数学归纳法证明求和公式
证明：$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ 对一切$n \in \mathbb{N}_{+}$成立。

第 1 步（归纳奠基）：$n = 1$时，左边$= 1$，右边$= \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$，等式成立。
第 2 步（归纳递推）：假设$n = k$时等式成立（$k \ge 1$），即$1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$。
两边同时加上第$k+1$项$(k+1)$，左边变成$1 + 2 + \cdots + k + (k+1)$。
右边变成$\dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \dfrac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$。
而$\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$正是$n = k+1$时公式右边的形式，所以$n = k+1$时等式也成立。
第 3 步（结论）：奠基与递推都完成，由数学归纳法原理，等式对一切$n \in \mathbb{N}_{+}$成立。

第 2 步里的"假设"不是"承认它一定正确"，而是"若它对，就能推出下一步也对"。递推的箭头"$P(k)$成立$\Rightarrow P(k+1)$成立"与$k$具体取几无关——$k$可以是$1, 2, 3, \ldots$中任意一个，所以箭头能一级一级传下去。

（15）常见误区

注意 误区一：只做奠基、不做递推。验证$n = 1$成立，只说明第一块骨牌会倒，第二块及以后可能全不倒。
注意 误区二：只做递推、不做奠基。箭头再完整也没有起点，第一块骨牌就不倒，结论对$n = n_0$都不一定成立。
注意 误区三：递推步骤没用上归纳假设。若证明求和公式时不把"$1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$"当作已知代入，而是重新算一遍，那只是又验证了一个特例，不是归纳法。
注意 误区四：$k$与$k+1$混淆。从$n = k$推到$n = k+1$，左边多出的是第$k+1$项，也就是$(k+1)$；加错项、或右边仍写成$k$的形式，都会推不出结论。

（16）数列的完整链条
从第 1 章的定义出发，数列的旅程走了五个台阶：先认识通项公式与递推公式两种描述方式；再掌握等差数列、等比数列两类最基本的模型；接着学会四种求和方法；然后学会由递推公式解出通项；到本节，函数的眼光、不等式的工具和真实世界的问题一起加入。

整条链路每一环都在做同一件事：把"第$n$个"这个离散的位置，翻译成能算、能比、能用的式子。数列是函数思想的第一块实战舞台——从这一篇往后，函数、不等式、导数这些更大的主角登场时，起点都是这串整数点。

历史背景

数学归纳法的来龙去脉
数学归纳法思想的萌芽可以追溯到古代。古希腊欧几里得《几何原本》中"素数有无穷多个"的证明已有逐级递推的意味【待核：欧几里得证明素数无穷时用的是反证加构造，是否算归纳法雏形，学术上有讨论】。

16 世纪意大利数学家毛罗利科（Francesco Maurolico）约 1575 年在《算术》中，用类似数学归纳法的方式证明$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$【待核：毛罗利科所用证明的形式与年代，常见说法如此，请核对】。

17 世纪法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal）在《论算术三角形》中系统运用归纳论证来证明组合恒等式，常被视为数学归纳法的重要奠基者【待核：帕斯卡《论算术三角形》的写作与发表年代，请核对】。

19 世纪意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano）提出自然数公理体系，其中的归纳公理为数学归纳法提供了严格的逻辑基础【待核：皮亚诺公理 1889 年发表于《算术原理新方法》，请核对】。"数学归纳法"这一名称相传由英国数学家德摩根（Augustus De Morgan）在 19 世纪提出【待核：德摩根命名数学归纳法的时间，请核对】。

利息、复利与分期付款的历史
利息的概念自古有之。约公元前 2000 年的两河流域泥板文献中已有谷物借贷计息的记录【待核：具体泥板文献名称与释读，请核对】；古巴比伦《汉谟拉比法典》（约公元前 1754 年）对借贷利率有明确条文【待核：法典中利率条款的具体内容，请核对】。

古希腊、古罗马时期借贷取息普遍；中国古代先秦典籍里也有借贷与利息的记载【待核：《周礼》"泉府"掌官贷、取息的具体条文，请核对】。

"利息再生利息"的复利思想古代已有萌芽，而现代银行体系把复利与分期付款（等额本息）变成日常的金融实践。数列中的等比模型正是复利的数学化：每期乘以同一个倍数$(1+r)$；等额本息则是一道现成的构造法应用题。

中国古籍中的数列应用
中国古代数学典籍《九章算术》（约成书于西汉末至东汉初，公元 1 世纪前后）中，"衰分"章处理按比例分配的问题，与等比数列密切相关【待核：《九章算术·衰分》的具体题目与解法，请核对；成书年代各家说法不一】；"均输"章含有等差递推类型的计算【待核：《九章算术·均输》中与等差递推相关的具体问题，请核对】。这说明"用数列模型解决实际问题"在中国数学传统中源远流长。