考研数学 零基础29堂课 高等数学

第一堂课　函数、极限与连续

第一节 函数

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• 【原题】
  • 设 $f(x) = \begin{cases} 2, & |x| \leqslant 2, \\ 0, & |x| > 2, \end{cases}$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于 $\underline{\quad \quad \quad \quad \quad}$ .
• 【解题】
  • 题目类型：复合函数求值题（分段函数的三层复合）
  • 解答：
    • ① 分析最内层 $f(x)$ 的取值情况：
      • 由分段定义，$f(x)$ 只可能取两个值：
        • 当 $|x| \leqslant 2$ 时，$f(x) = 2$
        • 当 $|x| > 2$ 时，$f(x) = 0$
      • 所以对任意实数 $x$，$f(x) \in \{2, 0\}$
    • ② 计算第二层 $f[f(x)]$：
      • 情形一：若 $f(x) = 2$，则 $f[f(x)] = f(2)$。因为 $|2| = 2 \leqslant 2$，属于第一段，所以 $f(2) = 2$
      • 情形二：若 $f(x) = 0$，则 $f[f(x)] = f(0)$。因为 $|0| = 0 \leqslant 2$，属于第一段，所以 $f(0) = 2$
      • 两种情形结果相同，故对任意 $x$，$f[f(x)] = 2$
    • ③ 计算最外层 $f\{f[f(x)]\}$：
      • 由②知 $f[f(x)] = 2$，故 $f\{f[f(x)]\} = f(2)$
      • 因为 $|2| = 2 \leqslant 2$，属于第一段，所以 $f(2) = 2$
  • 最终答案：
    • $2$
• 【学习模块】
  • 本题题目：
    • 设 $f(x) = \begin{cases} 2, & |x| \leqslant 2, \\ 0, & |x| > 2, \end{cases}$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于 $\underline{\quad \quad \quad \quad \quad}$ .
  • 知识点大纲：
    • 主流程：分段函数 → 值域分析（$f(x) \in \{0, 2\}$）→ 复合函数由内向外逐层代入 → $2$
    • 复合函数：先算最内层 $f(x)$ → 再算第二层 $f[f(x)]$ → 最后算最外层 $f\{f[f(x)]\}$ → $2$
  • 第1步：先弄清题目要我们做什么
    • 思路：$f$ 是一个分段函数，题目要算它的三层复合 $f\{f[f(x)]\}$，也就是 $f(f(f(x)))$——把 $x$ 依次代入 $f$ 三次
    • 知识点铺垫（什么是复合函数）：
      • 严谨定义：设 $y = g(u)$，$u = h(x)$，则 $y = g(h(x))$ 称为 $g$ 与 $h$ 的复合函数；计算时必须先算内层 $h(x)$，再把结果作为输入代入外层 $g$
      • 通俗讲解：复合函数像"套娃"一样一层套一层；算的时候从最里面的那层开始，一层一层往外算
      • 生活类比：冬天叠穿三件衣服——先穿最里面的保暖内衣，再套毛衣，最后套外套；顺序反了就会出错
    • 易错点：必须先算最内层的 $f(x)$，不能从最外层开始；$f\{f[f(x)]\}$ 是三次函数代入，不是乘法
  • 第2步：读懂分段函数的规则
    • 思路：搞清楚 $f$ 对任意输入 $u$ 的取值规则，这是整道题的"游戏规则"
    • 知识点（分段函数）：
      • 严谨定义：分段函数是在不同区间上由不同表达式定义的函数。本题：$f(u) = 2$（当 $|u| \leqslant 2$），$f(u) = 0$（当 $|u| > 2$）
      • 通俗讲解：把输入 $u$ 放进一个判断题："$|u|$ 是否不大于 2？"——是，输出 2；否，输出 0。就这一个规则
    • 计算（记下两个关键输入值的结果）：
      • 输入 $2$：$|2| = 2 \leqslant 2$，属于第一段 → $f(2) = 2$
      • 输入 $0$：$|0| = 0 \leqslant 2$，属于第一段 → $f(0) = 2$
      • 边界 $x = \pm 2$ 满足 $|x| = 2 \leqslant 2$，带等号，归第一段
    • 易错点：边界点 $|x| = 2$ 算在"$\leqslant 2$"这一边，不要漏掉等号——本题正是靠 $f(2) = 2$ 而非 0 出结果
  • 第3步：分析最内层 $f(x)$ 能取哪些值
    • 思路：虽然 $x$ 可以任意取值，但 $f(x)$ 的输出只有两种可能，抓住这一点后面就好办了
    • 知识点（值域分析）：
      • 严谨定义：函数的值域是所有可能输出值的集合。本题 $f$ 的输出只能是 2 或 0，故值域为 $\{2, 0\}$
      • 通俗讲解：不管输入 $x$ 是什么，$f$ 这台"机器"只吐两种结果：2 或者 0
    • 计算（分类列出）：
      • 若 $|x| \leqslant 2$，则 $f(x) = 2$
      • 若 $|x| > 2$，则 $f(x) = 0$
      • 故对任意 $x$：$f(x) \in \{2, 0\}$
    • 结论：最内层的结果只有 2 和 0 两种，接下来只需分别代入
  • 第4步：算第二层 $f[f(x)]$
    • 思路：把 $f(x)$ 的结果（2 或 0）当作新的输入，再代回 $f$ 判断一次
    • 计算（分类讨论的完整过程）：
      • 情形一：$f(x) = 2$ 时，$f[f(x)] = f(2)$。由第2步，$|2| = 2 \leqslant 2$，故 $f(2) = 2$
      • 情形二：$f(x) = 0$ 时，$f[f(x)] = f(0)$。由第2步，$|0| = 0 \leqslant 2$，故 $f(0) = 2$
      • 两种情形结果相同：对任意 $x$，$f[f(x)] = 2$
    • 易错点：$f[f(x)]$ 是"把 $f(x)$ 的值代进 $f$"，千万不要理解成 $[f(x)]^2$；代入后要回到分段定义判断 $|u|$ 与 2 的大小
  • 第5步：算最外层 $f\{f[f(x)]\}$
    • 思路：第二层的结果恒为 2，把它作为最外层的输入，再判断一次
    • 计算（代入最外层的完整过程）：
      • $f\{f[f(x)]\} = f(2)$（因为 $f[f(x)] = 2$）
      • 判断：$|2| = 2 \leqslant 2$，属于第一段 → $f(2) = 2$
    • 结论：$f\{f[f(x)]\} = 2$（对任意实数 $x$ 恒成立）
    • 易错点：代入后必须回到分段函数定义重新判断，不能想当然；$|2| = 2$ 满足 $\leqslant 2$，所以结果是 2 而不是 0
  • 全题知识地图（回顾）：
    • 分段函数（值域只有 $\{0, 2\}$）→ 复合函数由内向外（$f(x)$ → $f[f(x)]$ → $f\{f[f(x)]\}$）→ 每一层都判断 $|输入|$ 与 2 的大小 → $2$
  • 最终答案：
    • $2$

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• 【原题】
• 已知 $f(x) = \begin{cases} \ln x, & x \geqslant 1, \\ x+2, & x < 1, \end{cases}$，$g(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x}, & x < 0, \\ -x^2+1, & x \geqslant 0, \end{cases}$ 求 $f[g(x)]$，$g[f(x)]$
• 【解题】
  • 题目类型：复合函数求值题（两个分段函数互相复合，分段点需重新划分）
  • 解答：
    • ① 明确 $f$、$g$ 各自的分段阈值：
      • $f$ 的输入 $u \geqslant 1$ 时用 $\ln u$；$u < 1$ 时用 $u + 2$
      • $g$ 的输入 $v < 0$ 时用 $\mathrm{e}^{-v}$；$v \geqslant 0$ 时用 $-v^2 + 1$
    • ② 求 $f[g(x)]$：
      • 关键问题：$g(x)$ 何时 $\geqslant 1$、何时 $< 1$（因为 $f$ 的阈值是 1）
      • 当 $x < 0$ 时：$g(x) = \mathrm{e}^{-x} > \mathrm{e}^{0} = 1$，即 $g(x) > 1$ 恒成立
      • 当 $x \geqslant 0$ 时：$g(x) = -x^2 + 1 \leqslant 1$，且 $g(x) = 1 \iff x = 0$
      • 综合得：$g(x) \geqslant 1 \iff x \leqslant 0$；$g(x) < 1 \iff x > 0$
      • 当 $x \leqslant 0$ 时：$f[g(x)] = \ln(g(x)) = \ln(\mathrm{e}^{-x}) = -x$（其中 $x = 0$ 时 $\ln 1 = 0 = -0$，两分支写法合并一致）
      • 当 $x > 0$ 时：$f[g(x)] = g(x) + 2 = (-x^2 + 1) + 2 = 3 - x^2$
      • 故 $f[g(x)] = \begin{cases} -x, & x \leqslant 0, \\ 3 - x^2, & x > 0 \end{cases}$
    • ③ 求 $g[f(x)]$：
      • 关键问题：$f(x)$ 何时 $< 0$、何时 $\geqslant 0$（因为 $g$ 的阈值是 0）
      • 当 $x \geqslant 1$ 时：$f(x) = \ln x \geqslant \ln 1 = 0$，即 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立
      • 当 $x < 1$ 时：$f(x) = x + 2$，则 $f(x) < 0 \iff x + 2 < 0 \iff x < -2$；$f(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant -2$
      • 综合得：$f(x) < 0 \iff x < -2$；$f(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant -2$
      • 当 $x < -2$ 时：$g[f(x)] = \mathrm{e}^{-f(x)} = \mathrm{e}^{-(x+2)} = \mathrm{e}^{-x-2}$
      • 当 $-2 \leqslant x < 1$ 时：$g[f(x)] = -[f(x)]^2 + 1 = -(x+2)^2 + 1 = -(x^2 + 4x + 4) + 1 = -x^2 - 4x - 3$
      • 当 $x \geqslant 1$ 时：$g[f(x)] = -[f(x)]^2 + 1 = -(\ln x)^2 + 1 = 1 - \ln^2 x$
      • 故 $g[f(x)] = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x-2}, & x < -2, \\ -x^2 - 4x - 3, & -2 \leqslant x < 1, \\ 1 - \ln^2 x, & x \geqslant 1 \end{cases}$
    • ④ 检验分界点取值一致：
      • $x = 0$ 处：$f[g(0)] = f(1) = \ln 1 = 0$，与 $-x = 0$ 一致 ✓
      • $x = -2$ 处：$g[f(-2)] = g(0) = -0 + 1 = 1$，与 $\mathrm{e}^{0} = 1$ 一致 ✓
      • $x = 1$ 处：$g[f(1)] = g(\ln 1) = g(0) = 1$，与 $1 - \ln^2 1 = 1$ 一致 ✓
  • 最终答案：
    • $f[g(x)] = \begin{cases} -x, & x \leqslant 0, \\ 3 - x^2, & x > 0 \end{cases}$
    • $g[f(x)] = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x-2}, & x < -2, \\ -x^2 - 4x - 3, & -2 \leqslant x < 1, \\ 1 - \ln^2 x, & x \geqslant 1 \end{cases}$
• 【学习模块】
  • 本题题目：
    • 已知 $f(x) = \begin{cases} \ln x, & x \geqslant 1, \\ x+2, & x < 1, \end{cases}$，$g(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x}, & x < 0, \\ -x^2+1, & x \geqslant 0, \end{cases}$ 求 $f[g(x)]$，$g[f(x)]$
  • 知识点大纲：
    • 主流程：分段函数 → 复合函数（由内向外）→ 内层函数值与外层阈值比较 → 重新划分 x 的分段区间 → 逐段代入化简
    • 求 $f[g(x)]$：比较 $g(x)$ 与阈值 1（$x \leqslant 0$ 与 $x > 0$）＋ 逐段代入 $f$ → $\begin{cases} -x, & x \leqslant 0, \\ 3 - x^2, & x > 0 \end{cases}$
    • 求 $g[f(x)]$：比较 $f(x)$ 与阈值 0（$x < -2$、$-2 \leqslant x < 1$、$x \geqslant 1$）＋ 逐段代入 $g$ → $\begin{cases} \mathrm{e}^{-x-2}, & x < -2, \\ -x^2 - 4x - 3, & -2 \leqslant x < 1, \\ 1 - \ln^2 x, & x \geqslant 1 \end{cases}$
  • 第1步：先弄清题目要我们做什么
    • 思路：$f$、$g$ 都是分段函数，要求两个复合函数 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$。复合函数的结果一般也是分段函数，难点在于分段区间要重新划分
    • 知识点铺垫（什么是复合函数）：
      • 严谨定义：设 $y = F(u)$，$u = G(x)$，则 $y = F(G(x))$ 称为 $F$ 与 $G$ 的复合函数；计算时先算内层 $G(x)$，再把结果作为输入代入外层 $F$
      • 通俗讲解：复合像"套娃"，最里面一层先算。$f[g(x)]$ 就是"先让 $g$ 加工 $x$，再把 $g$ 的产出交给 $f$ 加工"
      • 生活类比：工厂流水线——第一道工序 $g$ 把原料 $x$ 加工成半成品，第二道工序 $f$ 把半成品加工成成品；每道工序有自己的"合格标准"（分段规则）
  • 第2步：看清两个分段函数各自的"规则"
    • 思路：把 $f$、$g$ 的分段规则与阈值记牢——$f$ 的阈值是 1，$g$ 的阈值是 0
    • 知识点（分段函数的定义）：
      • 严谨定义：分段函数在不同区间上由不同表达式定义。$f$：输入 $u \geqslant 1$ 输出 $\ln u$，输入 $u < 1$ 输出 $u + 2$；$g$：输入 $v < 0$ 输出 $\mathrm{e}^{-v}$，输入 $v \geqslant 0$ 输出 $-v^2 + 1$
      • 通俗讲解：$f$ 是一台"检测机"：进来的数不小于 1，走 $\ln$ 通道；小于 1，走"加 2"通道。$g$ 的检测标准是 0：负数走指数通道，非负数走"负平方加 1"通道
    • 易错点：阈值点本身归属要记清——$f$ 的 $u = 1$ 归第一段（$\geqslant 1$），$g$ 的 $v = 0$ 归第二段（$\geqslant 0$）
  • 第3步：求 $f[g(x)]$ 前的关键分析——$g(x)$ 落在 $f$ 的哪一段
    • 思路：$f$ 要求先判断输入与 1 的大小。因此要把 $g(x)$ 的取值与 1 比较，从而把 $x$ 重新分段。先分析 $g$ 在两段上的取值范围
    • 知识点（指数函数与二次函数的值域）：
      • 严谨定义：$y = \mathrm{e}^{t}$ 在 $t > 0$ 时 $y > 1$；$y = -x^2 + 1$ 的最大值为 1（当 $x = 0$），否则小于 1
      • 通俗讲解：$x < 0$ 时 $-x > 0$，$e$ 的正数次方一定大于 $e^0 = 1$；而 $-x^2+1$ 是开口向下的抛物线，最高点就是 1
    • 计算（比较 $g(x)$ 与 1 的完整过程）：
      • 当 $x < 0$：$g(x) = \mathrm{e}^{-x}$，因为 $-x > 0$，所以 $\mathrm{e}^{-x} > \mathrm{e}^0 = 1$，即 $g(x) > 1$ 恒成立
      • 当 $x \geqslant 0$：$g(x) = -x^2 + 1$。令 $-x^2 + 1 \geqslant 1$，解得 $-x^2 \geqslant 0$，即 $x^2 \leqslant 0$，只有 $x = 0$；故 $x > 0$ 时 $g(x) < 1$，$x = 0$ 时 $g(x) = 1$
      • 合并：$g(x) \geqslant 1 \iff x \leqslant 0$；$g(x) < 1 \iff x > 0$
    • 结论：$f[g(x)]$ 的分段点为 $x = 0$：$x \leqslant 0$ 走 $\ln$ 通道，$x > 0$ 走 $+2$ 通道
    • 易错点：不能照抄 $g$ 原来的分段点 $x = 0$ 与 $f$ 的分段点 $x = 1$——复合后的分段点由内层函数值与外层阈值比较重新确定
  • 第4步：逐段计算 $f[g(x)]$
    • 思路：按第3步分好的两段，把 $g(x)$ 代入 $f$ 的对应表达式并化简
    • 计算（两段代入化简的完整过程）：
      • 当 $x \leqslant 0$（此时 $g(x) \geqslant 1$，用 $\ln$）：$f[g(x)] = \ln(g(x)) = \ln(\mathrm{e}^{-x}) = -x$（用到 $\ln \mathrm{e}^{t} = t$；$x = 0$ 时 $\ln 1 = 0$，与 $-0$ 一致）
      • 当 $x > 0$（此时 $g(x) < 1$，用 $u + 2$）：$f[g(x)] = g(x) + 2 = (-x^2 + 1) + 2 = 3 - x^2$
    • 知识点（对数恒等式）：
      • 严谨定义：$\ln \mathrm{e}^{t} = t$ 对所有实数 $t$ 成立
      • 通俗讲解：$\ln$ 和 $\mathrm{e}$ 互为"拆装"关系，先装后拆等于没动
    • 结论：$f[g(x)] = \begin{cases} -x, & x \leqslant 0, \\ 3 - x^2, & x > 0 \end{cases}$
    • 易错点：化简 $\ln(\mathrm{e}^{-x})$ 时，$-x$ 是"整个指数"，不是 $-\ln x$；代入 $x + 2$ 分支时不要忘记把 $g(x) = -x^2 + 1$ 整体加 2，即 $-x^2 + 3$
  • 第5步：求 $g[f(x)]$ 前的关键分析——$f(x)$ 落在 $g$ 的哪一段
    • 思路：$g$ 要求先判断输入与 0 的大小，所以要把 $f(x)$ 的取值与 0 比较，重新划分 $x$ 的区间。先分析 $f$ 在两段上的取值符号
    • 计算（比较 $f(x)$ 与 0 的完整过程）：
      • 当 $x \geqslant 1$：$f(x) = \ln x \geqslant \ln 1 = 0$，即 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立
      • 当 $x < 1$：$f(x) = x + 2$。令 $x + 2 < 0$，得 $x < -2$；令 $x + 2 \geqslant 0$，得 $x \geqslant -2$
      • 合并：$f(x) < 0 \iff x < -2$；$f(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant -2$
    • 结论：$g[f(x)]$ 的分段点为 $x = -2$ 与 $x = 1$，共三段：$x < -2$ 走指数通道，$-2 \leqslant x < 1$ 与 $x \geqslant 1$ 走 $-v^2+1$ 通道
    • 易错点：$x \geqslant 1$ 与 $-2 \leqslant x < 1$ 两段虽然都走 $g$ 的同一个通道，但 $f(x)$ 的表达式不同（$\ln x$ 与 $x+2$），不能合并成一段
  • 第6步：逐段计算 $g[f(x)]$
    • 思路：按第5步分好的三段，把 $f(x)$ 代入 $g$ 的对应表达式并化简
    • 计算（三段代入化简的完整过程）：
      • 当 $x < -2$（此时 $f(x) < 0$，用 $\mathrm{e}^{-v}$）：$g[f(x)] = \mathrm{e}^{-f(x)} = \mathrm{e}^{-(x+2)} = \mathrm{e}^{-x-2}$
      • 当 $-2 \leqslant x < 1$（此时 $f(x) \geqslant 0$，用 $-v^2 + 1$）：$g[f(x)] = -[f(x)]^2 + 1 = -(x+2)^2 + 1 = -(x^2 + 4x + 4) + 1 = -x^2 - 4x - 3$
      • 当 $x \geqslant 1$（此时 $f(x) \geqslant 0$，用 $-v^2 + 1$）：$g[f(x)] = -[f(x)]^2 + 1 = -(\ln x)^2 + 1 = 1 - \ln^2 x$
    • 知识点（完全平方公式）：
      • 严谨定义：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，故 $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
      • 通俗讲解：把 $(x+2)^2$ 展开成三项再合并同类项，别漏掉中间的 $4x$
    • 结论：$g[f(x)] = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x-2}, & x < -2, \\ -x^2 - 4x - 3, & -2 \leqslant x < 1, \\ 1 - \ln^2 x, & x \geqslant 1 \end{cases}$
    • 易错点：$-(x+2)^2$ 展开时负号要作用于整个平方结果；$(\ln x)^2$ 要写成 $\ln^2 x$ 的规范形式，不能写成 $\ln(x^2)$
  • 第7步：检验分界点的取值是否一致
    • 思路：分段函数在分界点处两侧表达式可能不同，代入验证确保不矛盾（虽然复合后按定义分界点只属于一段，但验证可防错）
    • 计算（代入验证的完整过程）：
      • $x = 0$ 处验证 $f[g(x)]$：$f[g(0)] = f(1) = \ln 1 = 0$，第一段 $-x = -0 = 0$ ✓
      • $x = -2$ 处验证 $g[f(x)]$：$g[f(-2)] = g(0) = -0^2 + 1 = 1$，第一段 $\mathrm{e}^{-(-2)-2} = \mathrm{e}^{0} = 1$ ✓
      • $x = 1$ 处验证 $g[f(x)]$：$g[f(1)] = g(\ln 1) = g(0) = 1$，第三段 $1 - \ln^2 1 = 1 - 0 = 1$ ✓
    • 易错点：验证时先算内层函数值（如 $g(0)$、$f(1)$），再代外层，顺序反了会算错
  • 全题知识地图（回顾）：
    • 明确 $f$、$g$ 的阈值（$f$ 看 1，$g$ 看 0）→ 由内向外：比较内层函数值与外层阈值 → 重新划分 $x$ 的分段区间 → 逐段代入化简（$\ln \mathrm{e}^{t} = t$、完全平方展开）→ 分界点验证 → 两个分段答案
  • 最终答案：
    • $f[g(x)] = \begin{cases} -x, & x \leqslant 0, \\ 3 - x^2, & x > 0 \end{cases}$
    • $g[f(x)] = \begin{cases} \mathrm{e}^{-x-2}, & x < -2, \\ -x^2 - 4x - 3, & -2 \leqslant x < 1, \\ 1 - \ln^2 x, & x \geqslant 1 \end{cases}$

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第三节 函数极限的定义与限制

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• 【例一】

  • 已知 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{2\arctan \dfrac{1}{x} + 1}{\pi - 4\arctan \dfrac{1}{x}} + \dfrac{a\ln(1-x)}{|x|}, & x \neq 0, \\ b, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处的极限存在，求参数 $a, b$

• 【解题】

  • 题目类型：分段函数极限存在性问题（含参数，求参数 $a, b$）
  • 解题思路：
    • 本题考察函数在某点极限存在的充要条件：$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ 存在 $\iff$ 左极限与右极限都存在且相等
    • 函数在 $x \neq 0$ 的表达式里含 $\arctan \dfrac{1}{x}$ 和 $|x|$，这两者在 $x \to 0$ 时左右行为完全不同（$\arctan\frac1x$ 左趋于 $-\frac\pi2$、右趋于 $\frac\pi2$；$|x|$ 左侧为 $-x$、右侧为 $x$），所以必须分左右极限讨论
    • 求左极限：利用 $\arctan\left(-\infty\right) = -\frac\pi2$、$x<0$ 时 $|x| = -x$、以及等价无穷小 $\ln(1-x) \sim -x$（$x \to 0$）
    • 求右极限：利用 $\arctan(+\infty) = \frac\pi2$、$x>0$ 时 $|x| = x$
    • 令左极限 = 右极限，解出 $a$；再把 $a$ 代回求出公共极限值 $L$，由"极限值等于函数值"（连续）确定 $b = L$
  • 解答：
    • ① 求左极限（$x \to 0^-$）：
      • 当 $x \to 0^-$ 时，$\dfrac{1}{x} \to -\infty$，故 $\arctan \dfrac{1}{x} \to -\dfrac{\pi}{2}$
      • 第一部分的分子：$2\arctan \dfrac{1}{x} + 1 \to 2 \cdot \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + 1 = -\pi + 1$
      • 第一部分的分母：$\pi - 4\arctan \dfrac{1}{x} \to \pi - 4 \cdot \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \pi + 2\pi = 3\pi \neq 0$
      • 所以第一部分极限为 $\dfrac{1 - \pi}{3\pi}$
      • 第二部分：$x < 0$ 时 $|x| = -x$，故 $\dfrac{a\ln(1-x)}{|x|} = \dfrac{a\ln(1-x)}{-x}$；由 $\ln(1-x) \sim -x$ 知 $\dfrac{\ln(1-x)}{-x} \to 1$，所以第二部分极限为 $a$
      • 左极限：$L_- = \dfrac{1-\pi}{3\pi} + a$
    • ② 求右极限（$x \to 0^+$）：
      • 当 $x \to 0^+$ 时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，故 $\arctan \dfrac{1}{x} \to \dfrac{\pi}{2}$
      • 第一部分的分子：$2 \cdot \dfrac{\pi}{2} + 1 = \pi + 1$
      • 第一部分的分母：$\pi - 4 \cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi - 2\pi = -\pi \neq 0$
      • 所以第一部分极限为 $\dfrac{\pi+1}{-\pi} = -\dfrac{\pi+1}{\pi}$
      • 第二部分：$x > 0$ 时 $|x| = x$，故 $\dfrac{a\ln(1-x)}{|x|} = \dfrac{a\ln(1-x)}{x}$；由 $\ln(1-x) \sim -x$ 知 $\dfrac{\ln(1-x)}{x} \to -1$，所以第二部分极限为 $-a$
      • 右极限：$L_+ = -\dfrac{\pi+1}{\pi} - a$
    • ③ 令左极限 = 右极限，解出 $a$：
      • $\dfrac{1-\pi}{3\pi} + a = -\dfrac{\pi+1}{\pi} - a$
      • 移项：$2a = -\dfrac{\pi+1}{\pi} - \dfrac{1-\pi}{3\pi}$
      • 通分（公分母 $3\pi$）：$2a = \dfrac{-3(\pi+1) - (1-\pi)}{3\pi} = \dfrac{-3\pi - 3 - 1 + \pi}{3\pi} = \dfrac{-2\pi - 4}{3\pi}$
      • $a = -\dfrac{\pi+2}{3\pi}$
    • ④ 求公共极限值并确定 $b$：
      • 把 $a$ 代入左极限：$L = \dfrac{1-\pi}{3\pi} - \dfrac{\pi+2}{3\pi} = \dfrac{1 - \pi - \pi - 2}{3\pi} = \dfrac{-2\pi - 1}{3\pi}$
      • 验证右极限：$-\dfrac{\pi+1}{\pi} + \dfrac{\pi+2}{3\pi} = \dfrac{-3\pi - 3 + \pi + 2}{3\pi} = \dfrac{-2\pi - 1}{3\pi}$ ✓
      • 公共极限值 $L = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$
      • 要使"极限值等于函数值 $f(0)$"（即函数在 $x=0$ 处连续，这也是本题问 $b$ 的隐含条件）：$b = L = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$
  • 最终答案：
    • $a = -\dfrac{\pi+2}{3\pi}$，$b = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$

• 【分析模块】

  • 本题题目：
    • 已知 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{2\arctan \dfrac{1}{x} + 1}{\pi - 4\arctan \dfrac{1}{x}} + \dfrac{a\ln(1-x)}{|x|}, & x \neq 0, \\ b, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处的极限存在，求参数 $a, b$
  • 解题思路：
    • 第一步：识别出本题是分段函数在分界点的极限存在性问题，核心依据是"左右极限存在且相等"
    • 第二步：观察到 $\arctan\frac1x$ 与 $|x|$ 在 0 点两侧行为不同，必须分别求左、右极限
    • 第三步：左极限用 $\arctan\frac1x \to -\frac\pi2$、$|x| = -x$、$\ln(1-x) \sim -x$ 求得 $\frac{1-\pi}{3\pi} + a$；右极限用 $\arctan\frac1x \to \frac\pi2$、$|x| = x$ 求得 $-\frac{\pi+1}{\pi} - a$
    • 第四步：令左右相等解出 $a = -\frac{\pi+2}{3\pi}$，代回得公共极限值 $L = -\frac{2\pi+1}{3\pi}$，从而 $b = L$
  • 知识点大纲：
    • 主流程：分段函数 → 分界点极限 → 左右极限分别求 → 令其相等 → 解参数 $a$ → 代回求极限值 → 确定 $b$
    • 求左极限：$\arctan\frac1x$ 的极限（$\to -\frac\pi2$）＋ $|x|$ 分段（$|x| = -x$）＋ 等价无穷小（$\ln(1-x) \sim -x$）→ $\dfrac{1-\pi}{3\pi} + a$
    • 求右极限：$\arctan\frac1x$ 的极限（$\to \frac\pi2$）＋ $|x|$ 分段（$|x| = x$）→ $-\dfrac{\pi+1}{\pi} - a$
    • 解参数：左右相等 → $a = -\dfrac{\pi+2}{3\pi}$；代回求值 → $L = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$ → $b = L$

• 【学习模块】

  • 第1步：先弄清"极限存在"到底是什么意思
    • 思路：题目说 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的极限存在——先要明白这个条件对 $a, b$ 各有什么约束
    • 知识点（函数极限存在的充要条件）：
      • 严谨定义：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 存在 $\iff$ 左极限 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$ 与右极限 $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ 都存在且相等，即 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = A$
      • 通俗讲解：从左边靠近 0 和从右边靠近 0，函数值"走向的终点"必须是同一个数，极限才存在
      • 生活类比：从桥的两头同时走向桥中央，只有两人走到同一个位置，才能说"桥中央有一个确定的会合点"
    • 关键观察：
      • "极限存在"只约束 $x \neq 0$ 那一段的表达式，与 $f(0) = b$ 无关——除非还要求极限值等于函数值（即连续）。本题特意问 $b$，说明隐含条件是极限值 = $f(0)$（函数在 0 处连续）
    • 易错点：把"极限存在"误当成"连续"或"可导"；连续还额外要求 $\lim f(x) = f(0)$，本题的 $b$ 正是由这一条定出的
  • 第2步：观察函数结构，决定必须分左右讨论
    • 思路：$x \neq 0$ 的表达式中，$\arctan\dfrac{1}{x}$ 和 $|x|$ 在 $x=0$ 两侧的"表现"完全不同，所以先分别研究两侧
    • 知识点（反正切函数的极限）：
      • 严谨定义：$\lim\limits_{x \to +\infty} \arctan x = \dfrac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{x \to -\infty} \arctan x = -\dfrac{\pi}{2}$
      • 通俗讲解：$\arctan$ 的值域是 $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$；自变量越往正无穷走，值越逼近 $+\frac\pi2$；越往负无穷走，值越逼近 $-\frac\pi2$
      • 生活类比：$\arctan$ 像一扇"逐渐合拢的门"——无论 $\frac1x$ 跑到正无穷还是负无穷，$\arctan\frac1x$ 都会被"夹"在 $\pm\frac\pi2$ 之间
    • 关键观察：
      • 当 $x \to 0^-$ 时 $\frac1x \to -\infty$；当 $x \to 0^+$ 时 $\frac1x \to +\infty$——同一个 $\arctan\frac1x$，左右极限分别是 $-\frac\pi2$ 和 $\frac\pi2$，完全不同
      • $|x|$ 在 $x<0$ 时等于 $-x$，在 $x>0$ 时等于 $x$，也要分开处理
    • 易错点：不能直接把 $x=0$ 代入 $\arctan\frac1x$（没定义），必须先看 $\frac1x$ 趋于哪个方向的无穷
  • 第3步：求左极限（$x \to 0^-$）
    • 思路：在 $x<0$ 一侧，逐个算出两部分的极限再相加
    • 计算（左极限的完整过程）：
      • 第一部分：
        • $x \to 0^-$ 时 $\dfrac1x \to -\infty$，故 $\arctan\dfrac1x \to -\dfrac\pi2$
        • 分子：$2\arctan\dfrac1x + 1 \to 2 \cdot \left(-\dfrac\pi2\right) + 1 = -\pi + 1$
        • 分母：$\pi - 4\arctan\dfrac1x \to \pi - 4\left(-\dfrac\pi2\right) = \pi + 2\pi = 3\pi \neq 0$（分母不为 0，可以放心取极限）
        • 第一部分 $\to \dfrac{-\pi+1}{3\pi} = \dfrac{1-\pi}{3\pi}$
      • 第二部分：
        • $x < 0$ 时 $|x| = -x$，所以 $\dfrac{a\ln(1-x)}{|x|} = \dfrac{a\ln(1-x)}{-x}$
        • 知识点（等价无穷小）：严谨定义：若 $\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = 1$，则称 $\alpha \sim \beta$，极限中可以相互替换（乘除因子）；当 $u \to 0$ 时 $\ln(1+u) \sim u$
        • 通俗讲解：$x$ 很小时 $\ln(1-x)$ 和 $-x$ 几乎一样大（比值趋近 1），可以直接"互换"来算极限
        • 令 $u = -x$：$\dfrac{\ln(1-x)}{-x} = \dfrac{\ln(1+u)}{u} \to 1$，故第二部分 $\to a \cdot 1 = a$
      • 左极限：$L_- = \dfrac{1-\pi}{3\pi} + a$
    • 易错点：左极限时 $|x| = -x$，符号不能搞反（搞反会得到 $-a$，参数就解错了）
  • 第4步：求右极限（$x \to 0^+$）
    • 思路：在 $x>0$ 一侧重复同样的过程，但 $\arctan$ 和 $|x|$ 的行为都变了
    • 计算（右极限的完整过程）：
      • 第一部分：
        • $x \to 0^+$ 时 $\dfrac1x \to +\infty$，故 $\arctan\dfrac1x \to \dfrac\pi2$
        • 分子：$2 \cdot \dfrac\pi2 + 1 = \pi + 1$
        • 分母：$\pi - 4 \cdot \dfrac\pi2 = \pi - 2\pi = -\pi \neq 0$
        • 第一部分 $\to \dfrac{\pi+1}{-\pi} = -\dfrac{\pi+1}{\pi}$
      • 第二部分：
        • $x > 0$ 时 $|x| = x$，所以 $\dfrac{a\ln(1-x)}{|x|} = \dfrac{a\ln(1-x)}{x}$
        • 由 $\ln(1-x) \sim -x$：$\dfrac{\ln(1-x)}{x} \to -1$，故第二部分 $\to -a$
      • 右极限：$L_+ = -\dfrac{\pi+1}{\pi} - a$
    • 易错点：右极限时第二部分趋于 $-a$（不是 $a$）——绝对值"去符号"后分母从 $-x$ 变成 $x$，多出一个负号
  • 第5步：令左右极限相等，解出 $a$
    • 思路：极限存在的充要条件是 $L_- = L_+$，这是关于 $a$ 的方程
    • 计算（解方程的完整过程）：
      • $\dfrac{1-\pi}{3\pi} + a = -\dfrac{\pi+1}{\pi} - a$
      • 把 $a$ 移到左边：$2a = -\dfrac{\pi+1}{\pi} - \dfrac{1-\pi}{3\pi}$
      • 通分（公分母 $3\pi$）：
        • $-\dfrac{\pi+1}{\pi} = -\dfrac{3(\pi+1)}{3\pi} = \dfrac{-3\pi - 3}{3\pi}$
        • $2a = \dfrac{-3\pi - 3}{3\pi} - \dfrac{1-\pi}{3\pi} = \dfrac{-3\pi - 3 - 1 + \pi}{3\pi} = \dfrac{-2\pi - 4}{3\pi}$
      • 两边除以 2：$a = \dfrac{-2\pi - 4}{6\pi} = -\dfrac{\pi + 2}{3\pi}$
    • 易错点：通分时括号里的负号要展开正确（$-(1-\pi) = -1 + \pi$），漏负号是常见错误
  • 第6步：代回求公共极限值，确定 $b$
    • 思路：把 $a$ 代回左（或右）极限得到公共极限值 $L$；再令 $f(0) = b$ 等于 $L$，得到 $b$
    • 计算（代回求值的完整过程）：
      • 代回左极限：$L = \dfrac{1-\pi}{3\pi} + \left(-\dfrac{\pi+2}{3\pi}\right) = \dfrac{1 - \pi - \pi - 2}{3\pi} = \dfrac{-2\pi - 1}{3\pi}$
      • 验证右极限：$L = -\dfrac{\pi+1}{\pi} - \left(-\dfrac{\pi+2}{3\pi}\right) = \dfrac{-3\pi - 3 + \pi + 2}{3\pi} = \dfrac{-2\pi - 1}{3\pi}$ ✓（两侧一致，极限确实存在）
      • 公共极限值：$L = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$
      • 由于极限值要等于函数值 $f(0) = b$（连续），得 $b = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$
    • 说明：若题目只要求"极限存在"而不要求等于 $f(0)$，则 $b$ 可取任意实数；本题求 $b$，说明隐含条件是极限值 = 函数值（即函数在 $x=0$ 处连续）
    • 易错点：$b$ 是"极限值"，不是"某个表达式的值"——要先求出 $L$ 再赋值给 $b$，顺序不能反
  • 全题知识地图：
    • 分段函数 → 分界点极限 → 分左右（$\arctan\frac1x$ 左右极限不同 ＋ $|x|$ 左右展开不同）→ 左极限（$\arctan\frac1x \to -\frac\pi2$ ＋ $|x| = -x$ ＋ $\ln(1-x)\sim -x$）→ $\dfrac{1-\pi}{3\pi} + a$；右极限（$\arctan\frac1x \to \frac\pi2$ ＋ $|x| = x$）→ $-\dfrac{\pi+1}{\pi} - a$ → 令左右相等 → $a = -\dfrac{\pi+2}{3\pi}$ → 代回求值 → $L = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$ → $b = L$
  • 最终答案：
    • $a = -\dfrac{\pi+2}{3\pi}$，$b = -\dfrac{2\pi+1}{3\pi}$

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• 【例二】

  • 已知极限 $\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} - 2}{2\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} + 1} + c[x] \right)$ 存在，且 $a > 0$，$b > 0$，$c \in \mathbb{R}$，求参数 $a, b, c$ 满足的条件（其中 $[x]$ 表示取整函数，即不超过 $x$ 的最大整数）

• 【解题】

  • 题目类型：
    • 极限存在性讨论题（参数讨论：指数函数增长比较 ＋ 取整函数 ＋ 左右极限）
  • 解题思路：
    • $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在（有限值）⟺ 左、右极限都存在且相等，所以先分 $x \to 0^+$ 与 $x \to 0^-$ 分别讨论
    • $x \to 0^+$ 时 $a/x \to +\infty$、$b/x \to +\infty$，第一项 $\dfrac{\mathrm{e}^{a/x}-2}{2\mathrm{e}^{b/x}+1}$ 是"两个无穷大之比"，须按 $\mathrm{e}^{a/x}$ 与 $\mathrm{e}^{b/x}$ 谁增长更快（即 $a$ 与 $b$ 的大小关系）分 $a>b$、$a=b$、$a<b$ 三种情况；此时 $0<x<1$，$[x]=0$，第二项 $c[x]$ 无贡献
    • $x \to 0^-$ 时 $a/x \to -\infty$、$b/x \to -\infty$，$\mathrm{e}^{a/x} \to 0$、$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$，第一项恒趋于 $-2$；此时 $-1<x<0$，$[x]=-1$，第二项为 $-c$
    • 左、右极限的表达式都已知（含参数 $c$），令二者相等即可解出 $c$；同时由右极限不发散得到 $a$、$b$ 的条件
  • 解答：
    • ① 求右极限 $\lim_{x \to 0^+}$：
      • 当 $0<x<1$ 时 $[x]=0$，故 $c[x]=0$，右极限只取决于第一项
      • 将第一项的分子、分母同除以 $\mathrm{e}^{b/x}$：
        • $\dfrac{\mathrm{e}^{a/x}-2}{2\mathrm{e}^{b/x}+1} = \dfrac{\mathrm{e}^{(a-b)/x} - 2\mathrm{e}^{-b/x}}{2 + \mathrm{e}^{-b/x}}$
      • 情形一：$a > b$：
        • $(a-b)/x \to +\infty$，$\mathrm{e}^{(a-b)/x} \to +\infty$；$\mathrm{e}^{-b/x} \to 0$
        • 第一项 $\to +\infty$，右极限为 $+\infty$ → 极限不存在 ✗
      • 情形二：$a = b$：
        • $\mathrm{e}^{(a-b)/x} = \mathrm{e}^0 = 1$，$\mathrm{e}^{-b/x} \to 0$
        • 第一项 $\to \dfrac{1 - 0}{2 + 0} = \dfrac{1}{2}$，即右极限 $= \dfrac{1}{2}$
      • 情形三：$a < b$：
        • $(a-b)/x \to -\infty$，$\mathrm{e}^{(a-b)/x} \to 0$；$\mathrm{e}^{-b/x} \to 0$
        • 第一项 $\to \dfrac{0 - 0}{2 + 0} = 0$，即右极限 $= 0$
      • 结论：右极限存在（有限）⟺ $a \le b$
    • ② 求左极限 $\lim_{x \to 0^-}$：
      • 当 $-1<x<0$ 时 $[x]=-1$，故 $c[x] = -c$
      • $x \to 0^-$ 时 $a/x \to -\infty$、$b/x \to -\infty$，故 $\mathrm{e}^{a/x} \to 0$、$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$
      • 第一项 $\to \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = -2$
      • 左极限 $= -2 - c$（与 $a$、$b$ 无关）
    • ③ 令左右极限相等：
      • 若 $a = b$：$\dfrac{1}{2} = -2 - c \Rightarrow c = -\dfrac{5}{2}$
      • 若 $a < b$：$0 = -2 - c \Rightarrow c = -2$
      • 若 $a > b$：右极限不存在，原极限必不存在，舍去
    • ④ 验证：
      • 当 $a < b$、$c = -2$：右极限 $= 0$；左极限 $= -2 - (-2) = 0$，左右相等 ✓
      • 当 $a = b$、$c = -\dfrac{5}{2}$：右极限 $= \dfrac{1}{2}$；左极限 $= -2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}$，左右相等 ✓
  • 最终答案：
    • 参数满足 $0 < a \le b$，且 $a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$；$a < b$ 时 $c = -2$

• 【分析模块】

  • 本题题目：
    • 已知极限 $\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} - 2}{2\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} + 1} + c[x] \right)$ 存在，且 $a > 0$，$b > 0$，$c \in \mathbb{R}$，求参数 $a, b, c$ 满足的条件（其中 $[x]$ 表示取整函数，即不超过 $x$ 的最大整数）
  • 解题思路：
    • 核心是"极限存在 ⟺ 左右极限都存在且相等"
    • 右极限：$x \to 0^+$ 时 $\mathrm{e}^{a/x}$、$\mathrm{e}^{b/x} \to +\infty$，第一项是两个无穷大之比，分子分母同除以 $\mathrm{e}^{b/x}$ 后用指数增长比较——$a>b$ 发散、$a=b$ 得 $\frac{1}{2}$、$a<b$ 得 $0$；且此时 $[x]=0$，故右极限存在 ⟺ $a \le b$
    • 左极限：$x \to 0^-$ 时 $\mathrm{e}^{a/x}$、$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$，第一项恒 $\to -2$；且此时 $[x]=-1$，故左极限 $= -2 - c$
    • 令左右相等：$a=b$ 时得 $c = -\frac{5}{2}$；$a<b$ 时得 $c = -2$
  • 知识点大纲：
    • 主流程：极限存在性 → 左右极限存在且相等 → 右极限（指数增长比较 $a$ vs $b$）→ 左极限（$\mathrm{e}^{a/x} \to 0$）→ 左右相等 → 参数条件
    • 右极限（$x \to 0^+$）：取整函数 $[x] = 0$ ＋ 指数增长速度比较（分子分母同除 $\mathrm{e}^{b/x}$）→ $a \le b$，值为 $\frac{1}{2}$（$a = b$）或 $0$（$a < b$）
    • 左极限（$x \to 0^-$）：取整函数 $[x] = -1$ ＋ $\mathrm{e}^{a/x} \to 0$ → $-2 - c$
    • 定参数：左右极限相等 → $c = -\dfrac{5}{2}$（$a = b$） ＋ $c = -2$（$a < b$） → 条件 $0 < a \le b$

• 【学习模块】

  • 第1步：先弄清题意——"极限 $\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x}-2}{2\mathrm{e}^{b/x}+1}+c[x]\right)$ 存在"意味着什么
    • 本题相关：
      • 题目给出了含三个参数 $a,b,c$ 的极限式 $\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x}-2}{2\mathrm{e}^{b/x}+1}+c[x]\right)$，且 $a>0$、$b>0$、$c\in\mathbb{R}$，已知该极限存在，要求参数 $a,b,c$ 满足的条件
    • 思路：
      • "极限存在"等价于左极限、右极限都存在且相等；把左右两个极限分别算出来，再令它们相等，就能解出参数
    • 知识点（极限存在的充要条件）：
      • 严谨定义：
        • $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$（$A$ 为有限常数）⟺ $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$，即左极限与右极限都存在且相等
      • 通俗讲解：
        • 从 0 的左侧（负数一侧）和右侧（正数一侧）分别逼近 $x=0$，两边算出的"趋势值"必须是同一个数，极限才存在
      • 生活类比：
        • 约好某点见面：从东边走到和从西边走到，到达的时刻必须一样，才算"准点到达"
    • 知识点（取整函数 $[x]$）：
      • 严谨定义：
        • $[x] = \max\{ n \in \mathbb{Z} \mid n \le x \}$，即不超过 $x$ 的最大整数（也就是向下取整，$[x] = \lfloor x \rfloor$）。当 $0 \le x < 1$ 时 $[x] = 0$；当 $-1 \le x < 0$ 时 $[x] = -1$
      • 通俗讲解：
        • 向"下"（更小的方向）取整：$0.9 \to 0$；$-0.1 \to -1$（因为 $-1$ 是不超过 $-0.1$ 的最大整数）
      • 易错点：
        • 负数取整最易出错：$[-0.1] = -1$ 而不是 $0$！本题在 $x \to 0^-$ 处正是利用这一点
  • 第2步：观察 $\mathrm{e}^{a/x}$、$\mathrm{e}^{b/x}$ 在 $x \to 0^+$ 与 $x \to 0^-$ 的不同行为
    • 本题相关：
      • 原式由两部分组成：第一项 $\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1}$，第二项 $c[x]$
    • 思路：
      • 先摸清 $x$ 从正、负两侧接近 $0$ 时 $\mathrm{e}^{a/x}$ 与 $\mathrm{e}^{b/x}$ 分别走向哪里——这决定第一项的极限
    • 知识点（$x \to 0$ 时 $\mathrm{e}^{1/x}$ 的左右极限）：
      • 严谨定义：
        • $\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{1/x} = +\infty$（此时 $1/x \to +\infty$）；$\lim_{x \to 0^-} \mathrm{e}^{1/x} = 0$（此时 $1/x \to -\infty$）
      • 通俗讲解：
        • 指数函数 $\mathrm{e}^t$：自变量 $t \to +\infty$ 时爆炸增长到 $+\infty$；$t \to -\infty$ 时被压到 $0$
    • 计算（左右行为的完整过程）：
      • $x \to 0^+$（如 $x = 0.001$）：$\dfrac{a}{x} \to +\infty$，$\mathrm{e}^{a/x} \to +\infty$；$\dfrac{b}{x} \to +\infty$，$\mathrm{e}^{b/x} \to +\infty$；且 $0<x<1$ 时 $[x]=0$，故 $c[x] = 0$
      • $x \to 0^-$（如 $x = -0.001$）：$\dfrac{a}{x} \to -\infty$，$\mathrm{e}^{a/x} \to 0$；$\dfrac{b}{x} \to -\infty$，$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$；且 $-1<x<0$ 时 $[x] = -1$，故 $c[x] = -c$
    • 结论：
      • 左右两侧指数项行为完全不同：右侧双双爆炸（$\to +\infty$），左侧双双归零（$\to 0$），必须分开讨论
  • 第3步：计算右极限 $\lim_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x}-2}{2\mathrm{e}^{b/x}+1}+c[x]\right)$，分 $a>b$、$a=b$、$a<b$ 三种情况
    • 本题相关：
      • 右极限 $R = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\mathrm{e}^{a/x}-2}{2\mathrm{e}^{b/x}+1}$（因为 $x \to 0^+$ 时 $[x] = 0$，$c[x]$ 不出现）
    • 思路：
      • 分子、分母都 $\to +\infty$，是"$\frac{\infty}{\infty}$"型，要看分子中 $\mathrm{e}^{a/x}$ 与分母中 $\mathrm{e}^{b/x}$ 谁增长得快——即比较 $a$ 与 $b$。把分子分母同除以 $\mathrm{e}^{b/x}$，"增长快慢"就显出来了
    • 知识点（指数函数增长速度比较）：
      • 严谨定义：
        • 设 $p,q$ 为常数。当 $x \to 0^+$ 时，$\dfrac{\mathrm{e}^{p/x}}{\mathrm{e}^{q/x}} = \mathrm{e}^{(p-q)/x}$：若 $p > q$，则 $\to +\infty$；若 $p = q$，则恒等于 $1$；若 $p < q$，则 $\to 0$
      • 通俗讲解：
        • 两个都奔向 $+\infty$ 的量，指数增长快慢取决于"指数系数"：系数大的（$a > b$）把小的碾压；系数相同（$a = b$）比值定住；系数小的（$a < b$）被淹没，比值 $\to 0$
      • 生活类比：
        • 两人同时起跑冲刺，谁加速度大谁先到；加速度相同就一直保持固定的距离比
    • 计算（右极限的完整过程）：
      • 分子分母同除以 $\mathrm{e}^{b/x}$：
        • $\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1} = \dfrac{\mathrm{e}^{(a-b)/x} - 2\mathrm{e}^{-b/x}}{2 + \mathrm{e}^{-b/x}}$
      • 情形一 $a > b$：$(a-b)/x \to +\infty$，$\mathrm{e}^{(a-b)/x} \to +\infty$；同时 $\mathrm{e}^{-b/x} \to 0$。得：
        • $\dfrac{\mathrm{e}^{(a-b)/x} - 2\mathrm{e}^{-b/x}}{2 + \mathrm{e}^{-b/x}} \to +\infty$，右极限发散，极限不存在 ✗
      • 情形二 $a = b$：$\mathrm{e}^{(a-b)/x} = \mathrm{e}^0 = 1$，且 $\mathrm{e}^{-b/x} \to 0$。得：
        • $\dfrac{1 - 0}{2 + 0} = \dfrac{1}{2}$，即右极限 $R = \dfrac{1}{2}$
      • 情形三 $a < b$：$(a-b)/x \to -\infty$，$\mathrm{e}^{(a-b)/x} \to 0$；$\mathrm{e}^{-b/x} \to 0$。得：
        • $\dfrac{0 - 0}{2 + 0} = 0$，即右极限 $R = 0$
    • 结论：
      • 右极限存在当且仅当 $a \le b$；且右极限值为 $\dfrac{1}{2}$（$a = b$）或 $0$（$a < b$）
    • 易错点：
      • ① 必须"同除以 $\mathrm{e}^{b/x}$"再比较，不能把 $\frac{\infty}{\infty}$ 想当然当成 $1$
      • ② $a > b$ 时右极限发散为 $+\infty$，任何 $c$ 都救不回来——因为 $x \to 0^+$ 时 $[x] = 0$ 恒成立，第二项根本没有贡献
  • 第4步：计算左极限 $\lim_{x \to 0^-}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x}-2}{2\mathrm{e}^{b/x}+1}+c[x]\right)$
    • 本题相关：
      • $x \to 0^-$ 时：$\mathrm{e}^{a/x} \to 0$、$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$；且 $-1 < x < 0$ 时 $[x] = -1$，$c[x] = -c$
    • 思路：
      • 左极限里指数项全部归零，第一项不存在"增长速度之争"，直接代入；第二项要带上 $[x] = -1$
    • 计算（左极限的完整过程）：
      • 第一项：$\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1} \to \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = -2$
      • 第二项：$c[x] = c \cdot (-1) = -c$
      • 左极限 $L = -2 - c$
    • 结论：
      • 左极限恒为 $-2 - c$，与 $a$、$b$ 无关（$a>0$、$b>0$ 已保证 $\mathrm{e}^{a/x}$、$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$）
    • 易错点：
      • $[x]$ 在 $(-1, 0)$ 内是 $-1$ 而不是 $0$——本题的陷阱之一，$c$ 正是靠这个 $-1$ 进入平衡方程
  • 第5步：令左右极限相等，解出 $c$
    • 本题相关：
      • 右极限：$a = b$ 时为 $\dfrac{1}{2}$、$a < b$ 时为 $0$、$a > b$ 时不存在；左极限：$-2 - c$
    • 思路：
      • 按第3步得到的 $a$、$b$ 三种关系分别令"右极限 $=$ 左极限"，解出 $c$
    • 计算（解 $c$ 的完整过程）：
      • 若 $a > b$：右极限不存在 → 原极限必不存在，任何 $c$ 都不行 ✗
      • 若 $a = b$：$\dfrac{1}{2} = -2 - c$，得 $-c = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$，即 $c = -\dfrac{5}{2}$
      • 若 $a < b$：$0 = -2 - c$，即 $c = -2$
    • 易错点：
      • 移项符号：$-2 - c = \dfrac{1}{2} \Rightarrow c = -\dfrac{5}{2}$（先得 $-c = \dfrac{5}{2}$，再得 $c = -\dfrac{5}{2}$，符号别弄反）
  • 第6步：验证并汇总最终条件
    • 本题相关：
      • 候选答案：① $a < b$ 且 $c = -2$；② $a = b$ 且 $c = -\dfrac{5}{2}$；③ $a > b$ 且 $c$ 任意
    • 思路：
      • 把候选答案代回原表达式，检验左、右极限确实都存在且相等
    • 计算（验证的完整过程）：
      • 检验① $a < b$、$c = -2$：右极限 $= 0$；左极限 $= -2 - (-2) = 0$；左右相等 ✓，极限值 $= 0$
      • 检验② $a = b$、$c = -\dfrac{5}{2}$：右极限 $= \dfrac{1}{2}$；左极限 $= -2 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}$；左右相等 ✓，极限值 $= \dfrac{1}{2}$
      • 检验③ $a > b$：右极限 $= +\infty$，左右不可能相等 ✗
    • 结论：
      • 满足条件的参数为：$0 < a \le b$，且 $a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$，$a < b$ 时 $c = -2$
  • 全题知识地图：
    • 极限存在 ⇔ 左右极限存在且相等 → 右极限：$[x] = 0$ ＋ 指数增长比较（同除 $\mathrm{e}^{b/x}$；$a > b$ 发散 ✗、$a = b$ 得 $\dfrac{1}{2}$、$a < b$ 得 $0$）→ $a \le b$；左极限：$[x] = -1$ ＋ $\mathrm{e}^{a/x} \to 0$ → $-2 - c$；左右相等 → $a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$，$a < b$ 时 $c = -2$
  • 最终答案：
    • $0 < a \le b$；且当 $a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$，当 $a < b$ 时 $c = -2$

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【例二】
- 已知极限 $\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} - 2}{2\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} + 1} + c[x] \right)$ 存在，且 $a > 0$，$b > 0$，$c \in \mathbb{R}$，求参数 $a, b, c$ 满足的条件（其中 $[x]$ 表示取整函数，即不超过 $x$ 的最大整数）

• 【解题】

  • 题目类型：
    • 极限存在性讨论题（参数讨论：指数函数主导项比较 ＋ 取整函数 ＋ 左右极限）
  • 解题思路：
    • $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在（有限值）⟺ 左、右极限都存在且相等，所以先分别求右极限、左极限，最后令二者相等
    • 右极限：$x \to 0^+$ 时 $[x] = 0$，$c[x]$ 无贡献；第一项的分子、分母都 $\to +\infty$，是"两个无穷大之比"。教科书手法是同时提出 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$、$\mathrm{e}^{\frac{b}{x}}$，把整个式子写成 $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} \cdot \dfrac{1 - 2\mathrm{e}^{-a/x}}{2 + \mathrm{e}^{-b/x}}$，其中后面的因子 $\to \dfrac{1}{2}$——于是"主导项" $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 一目了然，右极限 $= \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$
    • 左极限：$x \to 0^-$ 时 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$、$\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} \to 0$，第一项恒 $\to -2$；且 $[x] = -1$，故左极限 $= -2 - c$（与 $a, b$ 无关）
    • 关键一步：题设极限存在（有限）⟹ 右极限有限 ⟹ $\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 必须存在且有限 ⟹ 若 $a - b > 0$ 它发散到 $+\infty$，矛盾，故 $a - b \le 0$
    • 再分类：$a - b < 0$ 时右极限 $= 0$，$a - b = 0$ 时右极限 $= \dfrac{1}{2}$；令 $-2 - c$ 等于右极限，即得 $c = -2$ 或 $c = -\dfrac{5}{2}$
  • 解答：
    • ① 求右极限 $\lim_{x \to 0^+}$：
      • 当 $0 < x < 1$ 时 $[x] = 0$，故 $c[x] = 0$，右极限只由第一项决定
      • 分子提出 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$、分母提出 $\mathrm{e}^{\frac{b}{x}}$：
        • $\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} - 2}{2\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} + 1} = \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}\left(1 - 2\mathrm{e}^{-\frac{a}{x}}\right)}{\mathrm{e}^{\frac{b}{x}}\left(2 + \mathrm{e}^{-\frac{b}{x}}\right)} = \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} \cdot \dfrac{1 - 2\mathrm{e}^{-\frac{a}{x}}}{2 + \mathrm{e}^{-\frac{b}{x}}}$
      • $x \to 0^+$ 时 $\mathrm{e}^{-\frac{a}{x}} \to 0$、$\mathrm{e}^{-\frac{b}{x}} \to 0$，故 $\dfrac{1 - 2\mathrm{e}^{-a/x}}{2 + \mathrm{e}^{-b/x}} \to \dfrac{1 - 0}{2 + 0} = \dfrac{1}{2}$
      • 所以右极限 $= \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$
    • ② 求左极限 $\lim_{x \to 0^-}$：
      • 当 $-1 < x < 0$ 时 $[x] = -1$，故 $c[x] = -c$
      • $x \to 0^-$ 时 $\frac{a}{x} \to -\infty$、$\frac{b}{x} \to -\infty$，故 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} \to 0$、$\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} \to 0$
      • 第一项 $\to \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = -2$，故左极限 $= -2 - c$（与 $a, b$ 无关）
    • ③ 由"极限存在"定 $a - b$ 的范围：
      • 极限存在（有限值）⟹ 右极限必须为有限值
      • 右极限 $= \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 有限 ⟹ $\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 存在且有限
      • 若 $a - b > 0$，则 $\frac{a-b}{x} \to +\infty$，$\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} \to +\infty$，发散，矛盾
      • 故 $a - b \le 0$，即 $a \le b$
    • ④ 分情况解 $c$：
      • 情形一：$a - b < 0$：
        • $\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} = 0$（$\frac{a-b}{x} \to -\infty$），右极限 $= \dfrac{1}{2} \times 0 = 0$
        • 由左右极限相等：$0 = -2 - c$，得 $c = -2$
      • 情形二：$a - b = 0$：
        • $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} = \mathrm{e}^0 = 1$，右极限 $= \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{2}$
        • 由左右极限相等：$\dfrac{1}{2} = -2 - c$，得 $c = -\dfrac{5}{2}$
    • ⑤ 验证：
      • $a < b$、$c = -2$：右极限 $= 0$，左极限 $= -2 - (-2) = 0$，相等 ✓，此时极限值 $= 0$
      • $a = b$、$c = -\dfrac{5}{2}$：右极限 $= \dfrac{1}{2}$，左极限 $= -2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}$，相等 ✓，此时极限值 $= \dfrac{1}{2}$
  • 最终答案：
    • $0 < a \le b$（即 $a - b \le 0$）；且当 $a < b$ 时 $c = -2$；当 $a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$

• 【分析模块】

  • 本题题目：
    • 已知极限 $\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} - 2}{2\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} + 1} + c[x] \right)$ 存在，且 $a > 0$，$b > 0$，$c \in \mathbb{R}$，求参数 $a, b, c$ 满足的条件（其中 $[x]$ 表示取整函数，即不超过 $x$ 的最大整数）
  • 解题思路：
    • 本题是"极限存在性"参数讨论题，主线是极限存在 ⟺ 左右极限都存在且相等，且存在指有限值
    • 右极限：$x \to 0^+$ 时 $[x] = 0$；第一项中 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$、$\mathrm{e}^{\frac{b}{x}}$ 都 $\to +\infty$，教科书手法是同时提出这两个公因式，写成 $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} \cdot \left( \to \frac12 \text{ 的因子}\right)$，一眼看出主导项 $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$
    • 左极限：$x \to 0^-$ 时 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$、$\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} \to 0$，第一项 $\to -2$；且 $[x] = -1$，故左极限 $= -2 - c$
    • 由右极限必须有限 ⟹ $\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 存在有限 ⟹ $a - b \le 0$
    • 最后分 $a - b < 0$ 与 $a - b = 0$ 两种情况，令 $-2 - c$ 等于右极限，解出 $c$
  • 知识点大纲：
    • 主流程：极限存在性 → 左右极限存在且相等 → 右极限（提取公因式，主导项 $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$）→ 左极限（$\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} \to 0$）→ 有限性 → $a - b \le 0$ → 左右相等 → 解 $c$
    • 右极限（$x \to 0^+$）：取整函数 $[x] = 0$ ＋ 提取 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$、$\mathrm{e}^{\frac{b}{x}}$（主导项法） → $= \dfrac{1}{2}\lim \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$
    • 左极限（$x \to 0^-$）：取整函数 $[x] = -1$ ＋ $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} \to 0$ → $-2 - c$
    • 定参数：极限存在的有限性 → $a - b \le 0$ ＋ 左右极限相等 → $c = -2$（$a < b$） ／ $c = -\dfrac{5}{2}$（$a = b$）

• 【学习模块】

  • 第1步：先弄清题意——"极限 $\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1} + c[x]\right)$ 存在"意味着什么
    • 本题相关：
      • 题目给出含参数 $a, b, c$ 的极限式 $\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1} + c[x]\right)$，已知它存在，求 $a, b, c$ 满足的条件
    • 思路：
      • "极限存在"等价于左、右极限都存在且相等（且为有限值）；把两侧极限分别算出来，再令相等，就能解出参数
    • 知识点（极限存在的充要条件）：
      • 严谨定义：
        • $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$（$A$ 为有限常数）⟺ $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$；若其中一侧趋向 $+\infty$（发散），则极限不存在
      • 通俗讲解：
        • 从 $0$ 左侧（负数一边）和右侧（正数一边）分别逼近 $x = 0$，两边算出的"趋势值"必须是同一个确定的数，极限才算存在；奔着无穷大去的不算存在
    • 知识点（取整函数 $[x]$）：
      • 严谨定义：
        • $[x] = \max\{ n \in \mathbb{Z} \mid n \le x \}$，即不超过 $x$ 的最大整数（等于向下取整 $\lfloor x \rfloor$）。当 $0 \le x < 1$ 时 $[x] = 0$；当 $-1 \le x < 0$ 时 $[x] = -1$
      • 通俗讲解：
        • 向"下"取整：$0.9 \to 0$；$-0.1 \to -1$（$-1$ 是不超过 $-0.1$ 的最大整数，不是 $0$）
  • 第2步：观察 $\mathrm{e}^{a/x}$、$\mathrm{e}^{b/x}$ 与 $[x]$ 在 $x \to 0^+$、$x \to 0^-$ 的不同行为
    • 本题相关：
      • 原式分两部分：第一项 $\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1}$，第二项 $c[x]$
    • 思路：
      • 先摸清 $x$ 从正、负两侧接近 $0$ 时 $\mathrm{e}^{a/x}$、$\mathrm{e}^{b/x}$ 和 $[x]$ 各走向哪里——这决定第一项、第二项的极限
    • 知识点（$x \to 0$ 时 $\mathrm{e}^{1/x}$ 的左右极限）：
      • 严谨定义：
        • $\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{1/x} = +\infty$（此时 $1/x \to +\infty$）；$\lim_{x \to 0^-} \mathrm{e}^{1/x} = 0$（此时 $1/x \to -\infty$）
      • 通俗讲解：
        • 指数函数 $\mathrm{e}^t$：自变量 $t \to +\infty$ 时爆炸增长到 $+\infty$；$t \to -\infty$ 时被压到 $0$
    • 计算（左右行为的完整过程）：
      • $x \to 0^+$（如 $x = 0.001$）：$\dfrac{a}{x} \to +\infty$，$\mathrm{e}^{a/x} \to +\infty$；$\dfrac{b}{x} \to +\infty$，$\mathrm{e}^{b/x} \to +\infty$；且 $0 < x < 1$ 时 $[x] = 0$，故 $c[x] = 0$
      • $x \to 0^-$（如 $x = -0.001$）：$\dfrac{a}{x} \to -\infty$，$\mathrm{e}^{a/x} \to 0$；$\dfrac{b}{x} \to -\infty$，$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$；且 $-1 < x < 0$ 时 $[x] = -1$，故 $c[x] = -c$
    • 结论：
      • 左右两侧完全不同：右侧指数双双爆炸，左侧指数双双归零；$[x]$ 在 $x = 0$ 处从 $0$ 跳到 $-1$（从右侧看是 $0$，从左侧看是 $-1$）
  • 第3步：计算右极限 $\lim_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1} + c[x]\right)$——提取公因式找"主导项" $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$
    • 本题相关：
      • $x \to 0^+$ 时 $[x] = 0$，故右极限 $R = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1}$，而分子分母都 $\to +\infty$
    • 思路：
      • "两个无穷大之比"要看谁增长得快——即 $\mathrm{e}^{a/x}$ 与 $\mathrm{e}^{b/x}$ 谁快，取决于 $a$ 与 $b$ 的大小。教科书的技巧：分子分母同时提出公因式（分子提 $\mathrm{e}^{a/x}$、分母提 $\mathrm{e}^{b/x}$），让主导项 $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 单独露出来
    • 知识点（指数增长比较／主导项法）：
      • 严谨定义：
        • 当 $x \to 0^+$ 时，$\dfrac{\mathrm{e}^{p/x}}{\mathrm{e}^{q/x}} = \mathrm{e}^{(p-q)/x}$：若 $p > q$ 则 $\to +\infty$；若 $p = q$ 则恒等于 $1$；若 $p < q$ 则 $\to 0$。并且（乘积的极限法则）若 $\lim u(x)$ 与 $\lim v(x)$ 都存在（有限），则 $\lim u(x) v(x) = \lim u(x) \cdot \lim v(x)$
      • 通俗讲解：
        • 两个都冲向 $+\infty$ 的指数函数，谁"指数系数"大谁碾压谁；先把无关紧要的"小尾巴"（$-2$、$+1$ 与 $e^{-a/x}$、$e^{-b/x}$）抖掉，剩下的主导项 $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 就决定一切
      • 生活类比：
        • 两队同时比赛冲刺，各自实力（指数系数）决定胜负；先把各自队伍里"陪跑的小兵"（$-\frac{2}{}$ 这类小项）请出画面，比较两队的主力军就行
    • 计算（右极限的完整过程）：
      • 分子提出 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$：$\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} - 2 = \mathrm{e}^{\frac{a}{x}}\left(1 - 2\mathrm{e}^{-\frac{a}{x}}\right)$
      • 分母提出 $\mathrm{e}^{\frac{b}{x}}$：$2\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} + 1 = \mathrm{e}^{\frac{b}{x}}\left(2 + \mathrm{e}^{-\frac{b}{x}}\right)$
      • 相除：$\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} - 2}{2\mathrm{e}^{\frac{b}{x}} + 1} = \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} \cdot \dfrac{1 - 2\mathrm{e}^{-\frac{a}{x}}}{2 + \mathrm{e}^{-\frac{b}{x}}}$
      • $x \to 0^+$ 时 $\mathrm{e}^{-\frac{a}{x}} \to 0$、$\mathrm{e}^{-\frac{b}{x}} \to 0$，所以 $\dfrac{1 - 2\mathrm{e}^{-a/x}}{2 + \mathrm{e}^{-b/x}} \to \dfrac{1 - 0}{2 + 0} = \dfrac{1}{2}$
      • 由乘积的极限法则：$R = \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$
    • 结论：
      • 右极限 $= \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$——问题转化为 $\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 的行为，而它完全由 $a - b$ 的符号决定
    • 易错点：
      • ① 分子分母同为 $+\infty$ 时不能直接把比值看成 $1$，必须比较增长速度（提取公因式）
      • ② 提取后系数别丢：括号因子极限是 $\dfrac{1}{2}$，最终右极限带有这个 $\dfrac{1}{2}$
      • ③ $x \to 0^+$ 时 $[x] = 0$，第二项 $c[x]$ 等于 $0$——不能指望它来抵消发散项
  • 第4步：计算左极限 $\lim_{x \to 0^-}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1} + c[x]\right)$
    • 本题相关：
      • $x \to 0^-$ 时：$\mathrm{e}^{a/x} \to 0$、$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$；且 $-1 < x < 0$ 时 $[x] = -1$，$c[x] = -c$
    • 思路：
      • 左侧指数项全部归零，第一项没有"增长速度之争"，直接代入；第二项带上 $[x] = -1$
    • 计算（左极限的完整过程）：
      • 第一项：$\dfrac{\mathrm{e}^{a/x} - 2}{2\mathrm{e}^{b/x} + 1} \to \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = -2$
      • 第二项：$c[x] = c \cdot (-1) = -c$
      • 左极限 $L = -2 - c$
    • 结论：
      • 左极限恒为 $-2 - c$，与 $a$、$b$ 无关（题设 $a, b > 0$ 保证了 $\mathrm{e}^{a/x}$、$\mathrm{e}^{b/x} \to 0$）
    • 易错点：
      • $[x]$ 在 $(-1, 0)$ 内是 $-1$ 而不是 $0$——这是本题的陷阱之一，$c$ 正是靠这个 $-1$ 进入方程
  • 第5步：由"极限存在（有限）"定出 $a - b \le 0$
    • 本题相关：
      • 右极限 $= \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$；左极限 $= -2 - c$（已是确定的有限数）
    • 思路：
      • 题设极限存在（有限），则右极限必须是有限值，从而 $\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 必须存在且有限；用反证排除 $a - b > 0$
    • 知识点（发散与"极限存在"的区别）：
      • 严谨定义：
        • "$\lim f(x)$ 存在"指的是存在有限常数 $A$ 使 $\lim f(x) = A$；若 $\lim f(x) = +\infty$，称极限发散，极限不存在。且若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$（有限），则 $\lim_{x \to x_0^\pm} f(x) = A$
      • 通俗讲解：
        • "存在"＝趋近于某个确定的数；跑向 $+\infty$（无穷大）不算——就像"跑到终点"才算到达，"越跑越快永远不刹车"不算
    • 计算（判定 $a - b$ 范围的完整过程）：
      • 若 $a - b > 0$：则 $x \to 0^+$ 时 $\dfrac{a - b}{x} \to +\infty$，$\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} \to +\infty$，右极限 $= \dfrac{1}{2} \cdot (+\infty) = +\infty$，与"左右极限相等且为有限值"矛盾 ✗
      • 若 $a - b \le 0$：$\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$ 收敛（$a - b = 0$ 时代入恒为 $1$；$a - b < 0$ 时趋于 $0$），右极限有限 ✓
      • 故 $a - b \le 0$，即 $a \le b$
    • 易错点：
      • "极限存在"默认是有限极限；算出右极限为 $+\infty$ 等于宣告失败，不是题目要的"存在"
  • 第6步：分两种情况解出 $c$
    • 本题相关：
      • 右极限 $R = \dfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+} \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$；左极限 $L = -2 - c$；已得 $a - b \le 0$
    • 思路：
      • 剩下只有两种情形，分别计算右极限的值，再与 $L = -2 - c$ 相等解 $c$
    • 计算（解 $c$ 的完整过程）：
      • 情形一 $a - b < 0$：$\dfrac{a - b}{x} \to -\infty$，$\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} \to 0$，右极限 $= \dfrac{1}{2} \times 0 = 0$；由 $0 = -2 - c$ 得 $c = -2$
      • 情形二 $a - b = 0$：$\mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}} = \mathrm{e}^0 = 1$，右极限 $= \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{2}$；由 $\dfrac{1}{2} = -2 - c$ 得 $-c = \dfrac{5}{2}$，即 $c = -\dfrac{5}{2}$
    • 易错点：
      • 移项符号：$-2 - c = \dfrac{1}{2} \Rightarrow c = -\dfrac{5}{2}$（先得 $-c = \dfrac{5}{2}$，再得 $c = -\dfrac{5}{2}$）
      • $a - b = 0$ 时不是"指数消失"，而是 $\mathrm{e}^0 = 1$——别忘了贡献值 $\dfrac{1}{2}$
  • 第7步：验证并汇总最终条件
    • 本题相关：
      • 候选答案：① $a < b$ 且 $c = -2$；② $a = b$ 且 $c = -\dfrac{5}{2}$；③ $a > b$ 且 $c$ 任意
    • 思路：
      • 把候选答案代回原表达式，检验左、右极限确实都存在且相等
    • 计算（验证的完整过程）：
      • 检验① $a < b$、$c = -2$：右极限 $= 0$；左极限 $= -2 - (-2) = 0$；左右相等 ✓，极限值 $= 0$
      • 检验② $a = b$、$c = -\dfrac{5}{2}$：右极限 $= \dfrac{1}{2}$；左极限 $= -2 - \left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}$；左右相等 ✓，极限值 $= \dfrac{1}{2}$
      • 检验③ $a > b$：右极限 $= +\infty$，与左极限有限矛盾 ✗
    • 结论：
      • 满足条件的参数为：$0 < a \le b$；当 $a < b$ 时 $c = -2$；当 $a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$
    • 意义：
      • 本题是考研极常见的一类"极限存在性 + 参数求解"题：先看左、右两侧指数的走向（左右极限），再提取公因式找主导项，最后由"极限存在 ⟹ 右极限有限"一步排除发散的参数范围——这个"有限性"判断技巧比逐情形试算快得多，务必掌握
  • 全题知识地图：
    • 极限存在 ⇔ 左右极限存在且相等（有限） → 右极限：$[x] = 0$ ＋ 提取 $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}}$、$\mathrm{e}^{\frac{b}{x}}$（主导项法） → $= \dfrac{1}{2}\lim \mathrm{e}^{\frac{a-b}{x}}$；左极限：$[x] = -1$ ＋ $\mathrm{e}^{\frac{a}{x}} \to 0$ → $-2 - c$ → 有限性 → $a - b \le 0$ → 左右相等 → $a < b$ 时 $c = -2$，$a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$
  • 最终答案：
    • $0 < a \le b$；且当 $a < b$ 时 $c = -2$；当 $a = b$ 时 $c = -\dfrac{5}{2}$

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第四节 无穷小与无穷大

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• 【例1】

  • 当 $x \to 0^+$ 时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是（　　）
    • (A) $\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1$
    • (B) $\ln(1 + \sqrt{x})$
    • (C) $1 - \cos\sqrt{x}$
    • (D) $1 - \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$

• 【解题】

  • 题目类型：
    • 选择题（等价无穷小判断）
  • 解题思路：
    • 等价无穷小的判断标准是比值极限等于 1：$\lim \dfrac{\alpha}{\beta} = 1$ 才称 $\alpha \sim \beta$
    • 令 $u = \sqrt{x}$（当 $x \to 0^+$ 时，$u \to 0^+$），用常用等价无穷小公式把每个选项化为 $u$ 的等价形式
    • 再与 $\sqrt{x}$（即 $u$）作比，看比值极限是否为 $1$：等于 $1$ 的选项即为答案
  • 解答：
    • ① 判断 (A)：$\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1$
      • 令 $u = \sqrt{x} \to 0$，由公式 $(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$（$\alpha = \frac12$）：
        • $\sqrt{1+u} - 1 \sim \dfrac{1}{2} u = \dfrac{1}{2}\sqrt{x}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{\frac12\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2} \ne 1$ → 不等价 ✗
    • ② 判断 (B)：$\ln(1 + \sqrt{x})$
      • 令 $u = \sqrt{x} \to 0$，由公式 $\ln(1+u) \sim u$：
        • $\ln(1+u) \sim u = \sqrt{x}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1$ → 等价 ✓
    • ③ 判断 (C)：$1 - \cos\sqrt{x}$
      • 令 $u = \sqrt{x} \to 0$，由公式 $1 - \cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$：
        • $1 - \cos u \sim \dfrac{u^2}{2} = \dfrac{x}{2}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{x/2}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{2} \to 0 \ne 1$ → 不等价（是 $\sqrt{x}$ 的高阶无穷小）✗
    • ④ 判断 (D)：$1 - \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$
      • 令 $u = \sqrt{x} \to 0$，由公式 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$ 得 $1 - \mathrm{e}^u \sim -u$：
        • $1 - \mathrm{e}^u \sim -u = -\sqrt{x}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -1 \ne 1$ → 不等价（同阶但符号相反）✗
    • ⑤ 综合：只有 (B) 与 $\sqrt{x}$ 的比值极限为 $1$
  • 最终答案：
    • B

• 【分析模块】

  • 本题题目：
    • 当 $x \to 0^+$ 时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是（　　）
      • (A) $\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1$
      • (B) $\ln(1 + \sqrt{x})$
      • (C) $1 - \cos\sqrt{x}$
      • (D) $1 - \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$
  • 解题思路：
    • 判断等价无穷小的唯一标准：比值极限为 1
    • 令 $u = \sqrt{x}$，把四个选项分别用等价无穷小公式化为 $u$ 的等价形式
    • 逐一与 $u$（即 $\sqrt{x}$）作比：比值极限为 $1$ 的是答案，其余排除
  • 知识点大纲：
    • 主流程：等价无穷小定义 → 常用等价公式 → 换元 $u = \sqrt{x}$ → 逐项作比 → 选 B
    • 关键工具：$(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$ ＋ $\ln(1+u) \sim u$ ＋ $1 - \cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$ ＋ $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$

• 【学习模块】

  • 第1步：先弄清题目要我们做什么——在 (A)(B)(C)(D) 中找出与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量
    • 本题相关：
      • 题目问：当 $x \to 0^+$ 时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是 (A)(B)(C)(D) 四个选项中的哪一个
    • 思路：
      • 题目问"与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量"——即四个选项中，谁的比值极限（除以 $\sqrt{x}$）等于 $1$
    • 知识点（什么是无穷小与等价无穷小）：
      • 严谨定义：
        • 若 $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$，称 $\alpha(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷小量；若 $\lim \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记 $\alpha \sim \beta$
      • 通俗讲解：
        • 两个都趋于 $0$ 的量，如果它们"趋于 $0$ 的速度一样快"（比值趋近 $1$），就是等价无穷小
      • 生活类比：
        • 两辆车同时冲向终点，若它们速度几乎相同（比值接近 $1$），可说"速度等价"
    • 易错点：
      • 等价要求比值极限严格等于 1；比值是其他非零常数（如 $\frac12$、$-1$）只能算同阶，不算等价
  • 第2步：准备工具——令 $u = \sqrt{x}$ 套等价公式
    • 本题相关：
      • 四个选项 (A) $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$、(B) $\ln(1+\sqrt{x})$、(C) $1-\cos\sqrt{x}$、(D) $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ 都含 $\sqrt{x}$，令 $u = \sqrt{x}$
    • 思路：
      • 四个选项都含 $\sqrt{x}$，令 $u = \sqrt{x}$ 后都能套用 $u \to 0$ 时的基本公式
    • 知识点（常用等价无穷小公式，$u \to 0$ 时）：
      • 严谨定义：
        • $\sin u \sim u$；$\tan u \sim u$；$\arcsin u \sim u$；$\arctan u \sim u$
        • $\ln(1+u) \sim u$；$\mathrm{e}^u - 1 \sim u$
        • $(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$
        • $1 - \cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$
      • 通俗讲解：
        • 这些公式相当于"翻译表"——把复杂的式子翻译成最简单的 $u$ 的幂，方便比较
    • 易错点：
      • $1 - \cos u$ 等价于 $\dfrac{u^2}{2}$（平方阶），不是 $u$ 阶——这是本题选项 (C) 的陷阱
  • 第3步：逐项判断——(A) $\sqrt{1+\sqrt{x}} - 1$
    • 本题相关：
      • 选项 (A) 为 $\sqrt{1+\sqrt{x}} - 1$，需判断 $\lim_{x \to 0^+}\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}} - 1}{\sqrt{x}}$ 是否等于 $1$
    • 思路：
      • 把 $u = \sqrt{x}$ 代入，套公式 $(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$，再与 $\sqrt{x}$ 作比
    • 计算（判断 (A) 的完整过程）：
      • 代入 $u = \sqrt{x}$：$\sqrt{1 + u} - 1 = (1+u)^{\frac12} - 1$
      • 套公式（$\alpha = \frac12$）：$(1+u)^{\frac12} - 1 \sim \dfrac{1}{2} u = \dfrac12\sqrt{x}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{\frac12\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \dfrac12 \ne 1$ → 不等价 ✗
    • 易错点：
      • $(1+u)^\alpha - 1$ 的等价形式是 $\alpha u$，系数 $\alpha$ 不能丢——正是这个系数导致 (A) 比值是 $\frac12$ 而非 $1$
  • 第4步：逐项判断——(B) $\ln(1+\sqrt{x})$
    • 本题相关：
      • 选项 (B) 为 $\ln(1+\sqrt{x})$，需判断 $\lim_{x \to 0^+}\dfrac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ 是否等于 $1$
    • 思路：
      • 套公式 $\ln(1+u) \sim u$，再作比
    • 计算（判断 (B) 的完整过程）：
      • 代入 $u = \sqrt{x}$：$\ln(1 + u)$
      • 套公式：$\ln(1+u) \sim u = \sqrt{x}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1$ → 等价 ✓
    • 结论：
      • 比值极限为 $1$，(B) 是正确答案
  • 第5步：逐项判断——(C) $1 - \cos\sqrt{x}$
    • 本题相关：
      • 选项 (C) 为 $1 - \cos\sqrt{x}$，需判断 $\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1 - \cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 是否等于 $1$
    • 思路：
      • 套公式 $1 - \cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$，注意它是 $u$ 的平方阶，比 $\sqrt{x}$ 小得多
    • 计算（判断 (C) 的完整过程）：
      • 代入 $u = \sqrt{x}$：$1 - \cos u$
      • 套公式：$1 - \cos u \sim \dfrac{u^2}{2} = \dfrac{x}{2}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{x/2}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{2} \to 0 \ne 1$ → 不等价（是 $\sqrt{x}$ 的高阶无穷小）✗
    • 易错点：
      • 高阶无穷小比值趋于 $0$，不是 $1$；别把 $\dfrac{x}{2}$ 误当成与 $\sqrt{x}$ 同阶
  • 第6步：逐项判断——(D) $1 - \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$
    • 本题相关：
      • 选项 (D) 为 $1 - \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$，需判断 $\lim_{x \to 0^+}\dfrac{1 - \mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ 是否等于 $1$
    • 思路：
      • 由 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$ 推出 $1 - \mathrm{e}^u \sim -u$，注意负号
    • 计算（判断 (D) 的完整过程）：
      • 代入 $u = \sqrt{x}$：$1 - \mathrm{e}^u$
      • 套公式：$1 - \mathrm{e}^u \sim -u = -\sqrt{x}$
      • 与 $\sqrt{x}$ 作比：$\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -1 \ne 1$ → 不等价（同阶但符号相反）✗
    • 易错点：
      • $1 - \mathrm{e}^u$ 等价于 $-u$ 而不是 $u$，负号使比值变为 $-1$——这也是常见陷阱
  • 第7步：汇总判断，确定答案——只有 (B) 的比值极限为 $1$
    • 本题相关：
      • 四个选项的比值极限分别为 (A) $\dfrac12$、(B) $1$、(C) $0$、(D) $-1$
    • 思路：
      • 四个选项比值极限分别是 $\dfrac12$、$1$、$0$、$-1$，只有 (B) 等于 $1$
    • 计算（汇总的完整过程）：
      • (A) 比值 $\to \dfrac12$ ✗　(B) 比值 $\to 1$ ✓　(C) 比值 $\to 0$ ✗　(D) 比值 $\to -1$ ✗
    • 结论：
      • 选 B
    • 意义：
      • 解这类"等价无穷小选择题"的通用套路是——换元 + 套公式 + 作比；比值极限为 $1$ 才是等价，出现其他常数（$\dfrac12$、$-1$）或 $0$ 都要排除
    • 易错点：
      • 等价无穷小替换公式只能在乘除因子中使用，且替换时系数和符号都要写对
  • 全题知识地图：
    • 等价无穷小定义（比值 $= 1$）→ 常用公式表（换元 $u = \sqrt{x}$）→ 逐项作比（(A) $\dfrac12$、(B) $1$、(C) $0$、(D) $-1$）→ 选 B
  • 最终答案：
    • B

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• 【例2】

  • 已知 $\alpha(x) = (1+2x)^{\ln(1+x)} - 1$，$\beta(x) = \sqrt{1+x} - \sqrt{1+\sin x}$，$\gamma(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x}$，当 $x \to 0$ 时，无穷小阶数由高到低的排列顺序为______

• 【解题】

  • 题目类型：
    • 无穷小阶数比较题（先求各函数的等价形式 $\sim Cx^k$，再按阶数 $k$ 排序）
  • 解题思路：
    • "阶数由高到低" = 趋于 $0$ 越快的排在前面，即等价形式中 $x$ 的次数 $k$ 越大阶数越高
    • $\alpha$：幂指函数先指数化 $a^b = \mathrm{e}^{b\ln a}$，化成 $\mathrm{e}^{\ln(1+x)\ln(1+2x)} - 1$，$u = \ln(1+x)\ln(1+2x) \sim 2x^2$，再由 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$ 得 $\alpha \sim 2x^2$（2 阶）
    • $\beta$：两个根号相减，用平方差（分子有理化）：$\sqrt{1+x} - \sqrt{1+\sin x} = \dfrac{x - \sin x}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1+\sin x}} \sim \dfrac{x^3/6}{2} = \dfrac{x^3}{12}$（3 阶）
    • $\gamma$：通分：$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\tan x - x}{x\tan x} \sim \dfrac{x^3/3}{x^2} = \dfrac{x}{3}$（1 阶）
    • 比较阶数 $3 > 2 > 1$，得排序
  • 解答：
    • ① 求 $\alpha(x)$ 的阶数：
      • 幂指函数指数化（利用 $A^B = \mathrm{e}^{B\ln A}$）：
        • $(1+2x)^{\ln(1+x)} = \mathrm{e}^{\ln(1+x)\,\ln(1+2x)}$
      • 令 $u = \ln(1+x)\ln(1+2x)$。由 $\ln(1+t) \sim t$（$t \to 0$）：
        • $\ln(1+x) \sim x$，$\ln(1+2x) \sim 2x$，故 $u \sim x \cdot 2x = 2x^2$（且 $u \to 0$）
      • 再由 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$：
        • $\alpha(x) = \mathrm{e}^u - 1 \sim u \sim 2x^2$
      • 结论：$\alpha \sim 2x^2$，2 阶
    • ② 求 $\beta(x)$ 的阶数：
      • 用平方差公式 $\left(\sqrt{A} - \sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A} + \sqrt{B}\right) = A - B$ 进行分子有理化：
        • $\beta = \dfrac{(1+x) - (1+\sin x)}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1+\sin x}} = \dfrac{x - \sin x}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1+\sin x}}$
      • 由 $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots$ 得 $x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$（3 阶）
      • 分母：$\sqrt{1+x} + \sqrt{1+\sin x} \to 1 + 1 = 2$
      • 所以 $\beta \sim \dfrac{x^3/6}{2} = \dfrac{x^3}{12}$
      • 结论：$\beta \sim \dfrac{x^3}{12}$，3 阶
    • ③ 求 $\gamma(x)$ 的阶数：
      • 通分：$\gamma = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\tan x - x}{x\tan x}$
      • 由 $\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \cdots$ 得 $\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$（3 阶）
      • 分母 $x\tan x \sim x \cdot x = x^2$（2 阶）
      • 所以 $\gamma \sim \dfrac{x^3/3}{x^2} = \dfrac{x}{3}$
      • 结论：$\gamma \sim \dfrac{x}{3}$，1 阶
    • ④ 排序：
      • 阶数：$\beta$（3 阶）$>$ $\alpha$（2 阶）$>$ $\gamma$（1 阶）
      • 阶数越高 $\to$ 趋于 $0$ 越快 $\to$ 排在越前
  • 最终答案：
    • $\beta(x)$，$\alpha(x)$，$\gamma(x)$（即 $\beta$（3 阶）$>$ $\alpha$（2 阶）$>$ $\gamma$（1 阶））

• 【分析模块】

  • 本题题目：
    • 已知 $\alpha(x) = (1+2x)^{\ln(1+x)} - 1$，$\beta(x) = \sqrt{1+x} - \sqrt{1+\sin x}$，$\gamma(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x}$，当 $x \to 0$ 时，无穷小阶数由高到低的排列顺序为______
  • 解题思路：
    • 阶数的定义：若 $\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^k} = C \ne 0$（$C$ 为非零常数），称 $f$ 为 $k$ 阶无穷小（等价于 $f \sim Cx^k$）
    • 三个函数用三种不同手法化成 $\sim Cx^k$：$\alpha$ 用"指数化 + 等价替换"；$\beta$ 用"平方差分子有理化"；$\gamma$ 用"通分"
    • 最后比较 $k$：$3 > 2 > 1$，由高到低即 $\beta$、$\alpha$、$\gamma$
  • 知识点大纲：
    • 主流程：无穷小阶数定义 → 各函数等价形式（$\alpha$：指数化；$\beta$：平方差有理化；$\gamma$：通分）→ 阶数比较 → 由高到低排序
    • 求 $\alpha$：指数化（$A^B = \mathrm{e}^{B\ln A}$）＋ $\ln(1+t) \sim t$ ＋ $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$ → $\alpha \sim 2x^2$（2 阶）
    • 求 $\beta$：平方差有理化 ＋ $x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$ ＋ 分母 $\to 2$ → $\beta \sim \dfrac{x^3}{12}$（3 阶）
    • 求 $\gamma$：通分 ＋ $\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \cdots$ ＋ $x\tan x \sim x^2$ → $\gamma \sim \dfrac{x}{3}$（1 阶）
    • 排序：阶数 $3 > 2 > 1$ → $\beta$ ＞ $\alpha$ ＞ $\gamma$

• 【学习模块】

  • 第1步：先弄清题意——"无穷小阶数由高到低"是什么意思
    • 本题相关：
      • 三个函数 $\alpha(x), \beta(x), \gamma(x)$ 在 $x \to 0$ 时都趋于 $0$（都是无穷小）；题目要求按阶数从高到低排列
    • 思路：
      • 把每个函数写成 $\sim Cx^k$ 的形式，$k$ 就是"阶数"；$k$ 越大表示衰减得越快（"阶数越高"）
    • 知识点（无穷小的阶数）：
      • 严谨定义：
        • 设 $\lim_{x\to0} f(x) = 0$。若 $\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^k} = C$（$C \ne 0$ 的非零常数），则称 $f(x)$ 是 $x \to 0$ 时的 $k$ 阶无穷小（此时 $f \sim Cx^k$）
      • 通俗讲解：
        • 阶数 $k$ 可以理解为"$f(x)$ 以 $x^k$ 的速度趋向 $0$"：$k$ 越大，趋零越快，它"越小"得越厉害，排位越靠前
      • 生活类比：
        • 三个选手都在向 $0$ 冲刺：3 阶选手（$\beta$）跑得最快（$x^3$ 速度），1 阶选手（$\gamma$）跑得最慢（$x$ 速度）——"由高到低"就是按速度排
  • 第2步：求 $\alpha(x) = (1+2x)^{\ln(1+x)} - 1$ 的阶数
    • 本题相关：
      • $\alpha(x) = (1+2x)^{\ln(1+x)} - 1$，$x \to 0$ 时底数 $\to 1$、指数 $\to 0$，属幂指函数，需先指数化
    • 思路：
      • 幂指函数一律先写指数形式 $A^B = \mathrm{e}^{B\ln A}$，露出"$\mathrm{e}^u - 1$"后就能套公式 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$
    • 知识点（两个等价公式）：
      • 严谨定义：
        • $\ln(1+t) \sim t$（$t \to 0$），即 $\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t} = 1$；$\mathrm{e}^u - 1 \sim u$（$u \to 0$），即 $\lim_{u\to0}\dfrac{\mathrm{e}^u-1}{u} = 1$
      • 通俗讲解：
        • 两个"翻译表"条目：对数和指数在 $0$ 附近都"翻译成"自身变量本身
    • 计算（求 $\alpha$ 阶数的完整过程）：
      • 指数化：$(1+2x)^{\ln(1+x)} = \mathrm{e}^{\ln(1+x)\ln(1+2x)}$，记 $u = \ln(1+x)\ln(1+2x)$
      • 用 $\ln(1+t) \sim t$：$\ln(1+x) \sim x$，$\ln(1+2x) \sim 2x$（系数 $2$ 别忘了）
      • 乘积：$u \sim x \cdot 2x = 2x^2$（且 $u \to 0$）
      • 再用 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$：$\alpha = \mathrm{e}^u - 1 \sim u \sim 2x^2$
    • 结论：
      • $\alpha \sim 2x^2$，是 2 阶无穷小
    • 易错点：
      • ① $\ln(1+2x) \sim 2x$ 的系数 $2$ 不能丢
      • ② 必须保证 $u \to 0$ 才能用 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$（这里 $u \sim 2x^2 \to 0$ ✓）
  • 第3步：求 $\beta(x) = \sqrt{1+x} - \sqrt{1+\sin x}$ 的阶数
    • 本题相关：
      • $\beta$ 是两个根号相减，$x \to 0$ 时都 $\to 1$，直接代体是 $1 - 1$，看不出阶，需要"分子有理化"
    • 思路：
      • 见到 $\sqrt{A} - \sqrt{B}$，用平方差公式把差"翻"到分子上：$\sqrt{A}-\sqrt{B} = \dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$，阶数就由 $A - B = x - \sin x$ 决定
    • 知识点（$x - \sin x$ 的阶数）：
      • 严谨定义：
        • $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$，故 $x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$
      • 通俗讲解：
        • $\sin x$ 和 $x$ 在 $0$ 附近"差一点点"，差别正是 $\dfrac{x^3}{6}$ 量级——所以 $\sin x$ 与 $x$ 等价，但"差"出来的是 3 阶小量
    • 计算（求 $\beta$ 阶数的完整过程）：
      • 分子有理化：
        • $\beta = \dfrac{(1+x) - (1+\sin x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+\sin x}} = \dfrac{x - \sin x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+\sin x}}$
      • 分子：$x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$
      • 分母：$x \to 0$ 时 $\sqrt{1+x} \to 1$、$\sqrt{1+\sin x} \to 1$，故分母 $\to 2$
      • 相除：$\beta \sim \dfrac{x^3/6}{2} = \dfrac{x^3}{12}$
    • 结论：
      • $\beta \sim \dfrac{x^3}{12}$，是 3 阶无穷小
    • 易错点：
      • ① 分子有理化的方向：$A - B = (\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B)$，除的是"和"$\sqrt{1+x} + \sqrt{1+\sin x}$，不是差
      • ② 分母 $\to 2$ 是有限非零，所以不改变阶数，只改变系数
  • 第4步：求 $\gamma(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x}$ 的阶数
    • 本题相关：
      • $\gamma$ 是两个"倒数"之差，$x \to 0$ 时两项都 $\to +\infty$（正侧），需先通分化成"$\frac{0}{0}$"再找主导项
    • 思路：
      • 通分 $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\tan x - x}{x\tan x}$：分子是 3 阶（$\frac{x^3}{3}$），分母是 2 阶（$x^2$），比值是 $\frac{x^3}{x^2} = x$，即 1 阶
    • 知识点（$\tan x$ 的泰勒展开）：
      • 严谨定义：
        • $\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \cdots$，故 $\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$
      • 通俗讲解：
        • $\tan x$ 比 $x$ 大一点，多的正是 $\dfrac{x^3}{3}$ 量级；$\gamma$ 的分子恰好就是这个"差"
    • 计算（求 $\gamma$ 阶数的完整过程）：
      • 通分：$\gamma = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\tan x - x}{x\tan x}$
      • 分子：$\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$
      • 分母：$x\tan x \sim x \cdot x = x^2$
      • 相除：$\gamma \sim \dfrac{x^3/3}{x^2} = \dfrac{x}{3}$（相当于 $\dfrac{x^3}{x^2} = x$，阶数 $3 - 2 = 1$）
    • 结论：
      • $\gamma \sim \dfrac{x}{3}$，是 1 阶无穷小
    • 易错点：
      • ① 通分后分子是 $\tan x - x$（正号）——顺序很关键：$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\tan x}$ 的分子是 $\tan x - x$；若写成 $\dfrac{1}{\tan x} - \dfrac{1}{x}$，分子就是 $x - \tan x \sim -\dfrac{x^3}{3}$（差一个负号，阶数不变）
      • ② 分母 $x\tan x$ 是"1 阶 × 1 阶 = 2 阶"，不要误当成 1 阶
      • ③ 阶数只看次数不管符号：$\pm\dfrac{x^c}{3}$ 都是 1 阶，只要系数非零
  • 第5步：汇总比较——由高到低排序
    • 本题相关：
      • 三个等价形式：$\alpha \sim 2x^2$（2 阶）、$\beta \sim \dfrac{x^3}{12}$（3 阶）、$\gamma \sim \dfrac{x}{3}$（1 阶）
    • 思路：
      • 阶数 $k$ 越大 = 趋零越快 = 排位越前
    • 计算（排序的完整过程）：
      • 阶数：$k_\beta = 3$，$k_\alpha = 2$，$k_\gamma = 1$
      • 由高到低：$3 > 2 > 1$ → $\beta$、$\alpha$、$\gamma$
    • 验证（数值抽查 $x = 0.01$）：
      • $\alpha \approx 2x^2 = 2 \times 10^{-4}$
      • $\beta \approx \dfrac{x^3}{12} = \dfrac{10^{-6}}{12} \approx 8.3 \times 10^{-8}$（比 $\alpha$ 小得多，阶更高 ✓）
      • $\gamma = \dfrac{1}{0.01} - \dfrac{1}{\tan 0.01} \approx 100 - 99.99667 = 0.00333 \approx \dfrac{x}{3} = 0.00333$（比前两个都大，阶最低 ✓）
    • 结论：
      • $\beta(x)$ ＞ $\alpha(x)$ ＞ $\gamma(x)$（由高到低）
  • 全题知识地图：
    • 阶数定义（$\sim Cx^k$）→ $\alpha$：指数化 $\mathrm{e}^{B\ln A}$ → $\ln(1+t)\sim t$ ＋ $\mathrm{e}^u-1\sim u$ → $2x^2$（2 阶）；$\beta$：平方差有理化 → $x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}$ ＋ 分母 $\to 2$ → $\frac{x^3}{12}$（3 阶）；$\gamma$：通分 → $\tan x-x\sim\frac{x^3}{3}$ ＋ $x\tan x\sim x^2$ → $\frac{x}{3}$（1 阶） → 排序：$\beta$ ＞ $\alpha$ ＞ $\gamma$
  • 最终答案：
    • $\beta(x)$，$\alpha(x)$，$\gamma(x)$

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• 【例3】

  • 已知当 $x \to 0^+$ 时，$\ln\cos(1-\cos x)$ 是 $x(\mathrm{e}^x - 1)^n$ 的高阶无穷小，$\sin x\tan^n x$ 是 $x - \ln(1+x)$ 的高阶无穷小，则正整数 $n = \underline{\qquad\quad}$

• 【解题】

  • 题目类型：
    • 无穷小阶数综合题（复合函数阶数 + 高阶无穷小比较 + 参数求解）
  • 解题思路：
    • $A$ 是 $B$ 的高阶无穷小，等价于 $\lim_{x\to0}\dfrac{A}{B} = 0$，等价于 $A$ 的阶数大于 $B$ 的阶数
    • 四式阶数：$\ln\cos(1-\cos x)$ 为 4 阶；$x(\mathrm{e}^x - 1)^n$ 为 $n+1$ 阶；$\sin x\tan^n x$ 为 $n+1$ 阶；$x - \ln(1+x)$ 为 2 阶
    • 代入两个条件：$4 > n+1$ 且 $n+1 > 2$，结合 $n$ 为正整数，得 $n = 2$
  • 解答：
    • ① 求 $\ln\cos(1-\cos x)$ 的阶数
      • 令 $u = 1 - \cos x$，由 $1-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$ 知 $u \sim \dfrac{x^2}{2}$（2 阶）
      • 中间层：$\cos u - 1 \sim -\dfrac{u^2}{2}$（由 $1-\cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$ 两边乘 $-1$ 得到）
      • 外层：$\ln\cos u = \ln\big(1 + (\cos u - 1)\big) \sim \cos u - 1$（用 $\ln(1+v) \sim v$，其中 $v = \cos u - 1 \to 0$）
      • 代回：$\ln\cos(1-\cos x) \sim -\dfrac{(x^2/2)^2}{2} = -\dfrac{x^4}{8}$ → 4 阶
    • ② 求 $x(\mathrm{e}^x - 1)^n$ 的阶数
      • $\mathrm{e}^x - 1 \sim x$，所以 $x(\mathrm{e}^x - 1)^n \sim x \cdot x^n = x^{n+1}$ → $n+1$ 阶
    • ③ 求 $\sin x\tan^n x$ 的阶数
      • $\sin x \sim x$，$\tan^n x = (\tan x)^n \sim x^n$，所以 $\sin x\tan^n x \sim x^{n+1}$ → $n+1$ 阶
    • ④ 求 $x - \ln(1+x)$ 的阶数
      • $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$，故 $x - \ln(1+x) \sim \dfrac{x^2}{2}$ → 2 阶
    • ⑤ 联立条件
      • 条件一：$4 > n+1$，得 $n < 3$
      • 条件二：$n+1 > 2$，得 $n > 1$
      • 正整数且 $1 < n < 3$ → $n = 2$
    • ⑥ 验证
      • $n = 2$：$x(\mathrm{e}^x-1)^2 \sim x^3$（3 阶），比 $\ln\cos(1-\cos x)$（4 阶）低阶 ✓
      • $n = 2$：$\sin x\tan^2 x \sim x^3$（3 阶），比 $x-\ln(1+x) \sim \dfrac{x^2}{2}$（2 阶）高阶 ✓
  • 最终答案：
    • $n = 2$

• 【分析模块】

  • 本题题目：
    • 已知当 $x \to 0^+$ 时，$\ln\cos(1-\cos x)$ 是 $x(\mathrm{e}^x - 1)^n$ 的高阶无穷小，$\sin x\tan^n x$ 是 $x - \ln(1+x)$ 的高阶无穷小，则正整数 $n = \underline{\qquad\quad}$
  • 解题思路：
    • 高阶比较的本质是阶数严格更大（比值趋于 0）
    • 复合函数用逐层换元（$\ln\cos(1-\cos x)$），乘积用逐因子替换（$x(\mathrm{e}^x-1)^n$、$\sin x\tan^n x$），相减用泰勒展开留首项（$x-\ln(1+x)$）
    • 两个不等式联立，再用正整数约束 → $n = 2$
  • 知识点大纲：
    • 主流程：四式阶数 → 高阶比较（阶数严格大）→ 不等式联立 → 正整数 ⇒ $n = 2$
    • 求阶数：$\ln\cos(1-\cos x)$（换元：$1-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$ → $\ln\cos u \sim -\dfrac{u^2}{2}$ → $-\dfrac{x^4}{8}$，4 阶）＋ $x(\mathrm{e}^x-1)^n \sim x^{n+1}$（$n+1$ 阶）＋ $\sin x\tan^n x \sim x^{n+1}$（$n+1$ 阶）＋ $x-\ln(1+x) \sim \dfrac{x^2}{2}$（2 阶）
    • 求 $n$：$4 > n+1$ ＋ $n+1 > 2$ ＋ 正整数 → $n = 2$

• 【学习模块】

  • 第1步：先弄清题意——高阶无穷小是什么意思
    • 本题相关：
      • $\ln\cos(1-\cos x)$ 是 $x(\mathrm{e}^x - 1)^n$ 的高阶无穷小；$\sin x\tan^n x$ 是 $x - \ln(1+x)$ 的高阶无穷小；要求正整数 $n$
    • 思路：
      • 把"高阶"翻译成阶数语言：阶数大的一边是"高阶"
    • 知识点（高阶无穷小的定义）：
      • 严谨定义：
        • 若 $\lim_{x\to x_0}\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0$，称 $A$ 是 $B$ 的高阶无穷小，记 $A = o(B)$。若 $A \sim Cx^k$、$B \sim Dx^m$（$C,D$ 非零），则 $A = o(B)$ 等价于 $k > m$
      • 通俗讲解：
        • 高阶 = 更快趋于 0 = 阶数更大；就像 4 档车速比 3 档快，$x^4$ 跑得比 $x^3$ 快
    • 易错点：
      • 方向别反：$A$ 是 $B$ 的高阶 ⟹ $A$ 阶数大，比值 $\dfrac{A}{B} \to 0$
  • 第2步：亮出工具表——本题要用的等价无穷小与泰勒展开
    • 知识点（常用等价无穷小，$t \to 0$ 时）：
      • 严谨定义：
        • $1-\cos t \sim \dfrac{t^2}{2}$；$\mathrm{e}^t - 1 \sim t$；$\sin t \sim t$；$\tan t \sim t$；$\ln(1+t) \sim t$
        • 泰勒展开：$\ln(1+t) = t - \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^3}{3} - \cdots$；$\cos t = 1 - \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{t^4}{24} - \cdots$
      • 通俗讲解：
        • 这就是"阶数翻译表"：每个公式直接告诉你它是几阶小量
    • 易错点：
      • $x - \ln(1+x)$ 这类"相减差"不能用 $\ln(1+t) \sim t$ 一级近似（否则得 $x - x = 0$），必须泰勒展开到 $t^2$ 项
  • 第3步：求 $\ln\cos(1-\cos x)$ 的阶数——逐层换元
    • 本题相关：
      • 三层嵌套：最内 $1-\cos x$，中间 $\cos$，最外 $\ln$
    • 计算：
      • 内层：$u = 1-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$（2 阶）
      • 中间层：$\cos u - 1 \sim -\dfrac{u^2}{2}$（由 $1-\cos u \sim \dfrac{u^2}{2}$ 变号）
      • 外层：$\ln\cos u = \ln\big(1+(\cos u - 1)\big) \sim \cos u - 1 \sim -\dfrac{u^2}{2}$
      • 代回：$-\dfrac{u^2}{2} \sim -\dfrac{(x^2/2)^2}{2} = -\dfrac{x^4}{8}$ → 4 阶
    • 易错点：
      • ① 别把 $\ln\cos(1-\cos x)$ 当成 $\ln(1-\cos x)$：后者除 $\ln \dfrac{x^2}{2} \to -\infty$ 发散，根本不是无穷小
      • ② 别把 $\cos u$ 直接近似成 $1$，会丢掉 $u^2$ 阶信息
      • ③ 系数别漏：最终是 $-\dfrac{x^4}{8}$ 而不是 $-\dfrac{x^4}{4}$
  • 第4步：求两个乘积式的阶数——逐因子替换
    • 计算：
      • $x(\mathrm{e}^x-1)^n \sim x \cdot x^n = x^{n+1}$ → $n+1$ 阶
      • $\sin x\tan^n x \sim x \cdot x^n = x^{n+1}$ → $n+1$ 阶
    • 易错点：
      • $\tan^n x = (\tan x)^n$，不是 $\tan(x^n)$；乘积阶数 = 各因子阶数相加
  • 第5步：求 $x - \ln(1+x)$ 的阶数——泰勒展开留首项
    • 计算：
      • $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$，相减得 $x - \ln(1+x) \sim \dfrac{x^2}{2}$ → 2 阶
    • 易错点：
      • 必须展开到能抵消的那一项，只到 $x$ 阶就得 $0$，看不出阶数
  • 第6步：联立不等式解出 $n$
    • 计算：
      • 条件一：$4 > n+1$，得 $n < 3$
      • 条件二：$n+1 > 2$，得 $n > 1$
      • $1 < n < 3$ 且 $n$ 为正整数 → $n = 2$
    • 易错点：
      • "正整数"约束排除 $n = 0, 1$；列式方向别反（高阶 = 阶数大）
  • 第7步：验证并收尾
    • 计算：
      • $n = 2$ 时：$\dfrac{-\dfrac{x^4}{8}}{x^3} = -\dfrac{x}{8} \to 0$ ✓（$\ln\cos(1-\cos x)$ 是 $x(\mathrm{e}^x-1)^2$ 的高阶）
      • $n = 2$ 时：$\dfrac{x^3}{x^2/2} = 2x \to 0$ ✓（$\sin x\tan^2 x$ 是 $x-\ln(1+x)$ 的高阶）
    • 结论：
      • $n = 2$
  • 全题知识地图：
    • 高阶定义（阶数严格大）→ 四式阶数：$\ln\cos(1-\cos x)$（4 阶）＋ $x(\mathrm{e}^x-1)^n$（$n+1$ 阶）＋ $\sin x\tan^n x$（$n+1$ 阶）＋ $x-\ln(1+x)$（2 阶）→ 不等式 $4 > n+1$、$n+1 > 2$ → $1 < n < 3$ → 正整数 → $n = 2$
  • 最终答案：
    • $n = 2$

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第五章 求极限

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• 【例1】

  • 求极限 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \tan x}{\left[\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}\right](e^x - 1)}$

• 【解题】

  • 题目类型：
    • 极限计算题（$\frac{0}{0}$ 型不定式，等价无穷小替换＋有理化）
  • 解题思路：
    • 本题分子、分母都趋于 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型不定式。直接洛必达会导致分母乘积、根号之差求导后异常复杂，所以正确思路是先化简、后求极限：把每个部分都换成简单的等价无穷小
    • 分子：提公因式 $\tan x$，把 $\sin x - \tan x$ 化为 $\tan x(\cos x - 1)$，用 $\tan x \sim x$ 和 $\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$，得分子 $\sim -\dfrac{x^3}{2}$
    • 分母第一个因子：直接用 $e^x - 1 \sim x$
    • 分母第二个因子：$\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}$ 是"根号之差"，先用有理化化出 $\dfrac{\ln(1+x) - x}{\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x}}$，再用 $\ln(1+x) - x \sim -\frac{x^2}{2}$ 和分母趋于 $2$，得该因子 $\sim -\dfrac{x^2}{4}$
    • 分母整体 $\sim -\dfrac{x^3}{4}$，与分子同为 $x^3$ 阶；同阶相除，极限为 $\dfrac{-1/2}{-1/4} = 2$
  • 解答：
    • ① 判断极限类型：
      • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin x - \tan x \to 0$；分母中 $\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x} \to 0$、$e^x - 1 \to 0$，故整体为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，不能直接代入
    • ② 化简分子 $\sin x - \tan x$：
      • 提公因式：$\sin x - \tan x = \tan x \cos x - \tan x = \tan x(\cos x - 1)$
      • 等价无穷小：$\tan x \sim x$；$\cos x - 1 \sim -\dfrac{x^2}{2}$（由 $1-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$ 变号）
      • 分子 $\sim x \cdot \left(-\dfrac{x^2}{2}\right) = -\dfrac{x^3}{2}$
    • ③ 化简分母第一个因子：
      • $e^x - 1 \sim x$
    • ④ 化简分母第二个因子 $\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}$：
      • 有理化（分子、分母同乘 $\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x}$）：
      • $\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x} = \dfrac{(1+\ln(1+x)) - (1+x)}{\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x}} = \dfrac{\ln(1+x) - x}{\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x}}$
      • 由泰勒展开：$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，故 $\ln(1+x) - x = -\dfrac{x^2}{2} + o(x^2) \sim -\dfrac{x^2}{2}$
      • 分母趋于 $\sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$
      • 该因子 $\sim \dfrac{-x^2/2}{2} = -\dfrac{x^2}{4}$
    • ⑤ 合并求原极限：
      • 分母 $\sim \left(-\dfrac{x^2}{4}\right) \cdot x = -\dfrac{x^3}{4}$
      • 原极限 $= \lim_{x \to 0} \dfrac{-\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{-\frac{x^3}{4} + o(x^3)} = \dfrac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}} = 2$
  • 最终答案：
    • $2$

• 【分析模块】

  • 本题题目：
    • 求极限 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \tan x}{\left[\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}\right](e^x - 1)}$
  • 解题思路：
    • 第一步（判断类型）：分子分母均趋于 0，为 $\frac{0}{0}$ 型不定式；直接洛必达过于繁琐，改用等价无穷小与有理化化简
    • 第二步（化简分子）：$\sin x - \tan x = \tan x(\cos x - 1)$，用 $\tan x \sim x$ 与 $\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$ 得分子 $\sim -\frac{x^3}{2}$
    • 第三步（化简分母）：$e^x - 1 \sim x$；$\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}$ 有理化后，由 $\ln(1+x) - x \sim -\frac{x^2}{2}$ 及分母趋于 $2$，得该因子 $\sim -\frac{x^2}{4}$
    • 第四步（求值）：分母 $\sim -\frac{x^3}{4}$，分子 $\sim -\frac{x^3}{2}$，同阶相除得 $2$
  • 知识点大纲：
    • 主流程：极限 → $\frac{0}{0}$ 型不定式 → 分子化简（提公因式＋等价无穷小）→ 分母化简（等价无穷小＋有理化＋泰勒展开）→ 同阶相除 → 极限值 $2$
    • 化简分子：提公因式（$\sin x - \tan x = \tan x(\cos x - 1)$）＋ 等价无穷小（$\tan x \sim x$，$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$）→ $-\dfrac{x^3}{2}$
    • 化简分母：等价无穷小（$e^x - 1 \sim x$）＋ 有理化（$\sqrt{A} - \sqrt{B}$ 型，同乘 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$）→ 泰勒展开（$\ln(1+x) - x \sim -\frac{x^2}{2}$）→ $-\dfrac{x^2}{4}$
    • 求极限：分子分母同阶（均为 $x^3$ 阶）→ 比值 $\dfrac{-1/2}{-1/4} = 2$

• 【学习模块】

  • 第1步：先弄清题目 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x - \tan x}{[\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}](e^x - 1)}$ 要我们做什么
    • 本题相关：
      • 题目要求当 $x \to 0$ 时，求分式 $\dfrac{\sin x - \tan x}{\left[\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}\right](e^x - 1)}$ 的极限值
    • 思路：
      • 先看懂题目在问什么：分子、分母都是复杂式子，让我们看 $x$ 无限接近 0 时，整个分式接近什么数
    • 知识点（什么是极限）：
      • 严谨定义：
        • 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若当 $x$ 无限接近 $x_0$ 时，$f(x)$ 无限接近常数 $A$，则称 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$
      • 通俗讲解：
        • 极限看的是趋势：$x$ 越来越靠近 0 时函数值走向哪里，而不是 $x = 0$ 处具体等于什么
      • 生活类比：
        • 看一辆车靠近路口时的速度趋势，而不是车停在路口那一瞬间的速度
    • 计算（先尝试直接代入）：
      • 分子：$\sin 0 - \tan 0 = 0 - 0 = 0$
      • 分母：$\left(\sqrt{1+\ln 1} - \sqrt{1}\right)(e^0 - 1) = (\sqrt{1} - \sqrt{1})(1 - 1) = 0 \cdot 0 = 0$
      • 出现 $\frac{0}{0}$，无法直接得到答案——这正是"不定式"
    • 易错点：
      • $\frac{0}{0}$ 型不是极限等于 0，也不是极限不存在，而是"暂时算不出、需要继续化简"；基本值 $\ln 1 = 0$、$e^0 = 1$ 要记牢
  • 第2步：判断题目类型并选方法——$\frac{0}{0}$ 型为何不首选洛必达
    • 本题相关：
      • 题目为 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - \tan x}{\left[\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}\right](e^x - 1)}$：分子趋于 0，分母的每个因子都趋于 0
    • 思路：
      • 遇到 $\frac{0}{0}$ 型，通用方法有洛必达法则，但本题分母是"两项的乘积"，其中还含根号之差，对分母求导（乘积法则）后式子会变得极复杂
      • 更聪明的做法：把每个"小块"都换成它的等价无穷小，让整个式子变成简单的 $x$ 的幂，一除就出答案
    • 知识点（$\frac{0}{0}$ 型不定式）：
      • 严谨定义：
        • 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$，则 $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ 称为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，其值需经变形后才可确定
      • 通俗讲解：
        • 两个都趋向 0 的量相比——"谁趋 0 更快"决定了结果，不能想当然
      • 生活类比：
        • 两辆车都"几乎没动"，但一辆每小时挪 1 米、一辆每小时挪 3 米，速度差三倍——关键是比较"趋 0 的速度"
    • 知识点（洛必达法则）：
      • 严谨定义：
        • 若 $f(x), g(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导且 $g'(x) \neq 0$，$\lim f(x) = \lim g(x) = 0$（或均为 $\infty$），且 $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$），则 $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$
      • 通俗讲解：
        • 洛必达把"看不出的 0 比 0"变成"求导之后再比"。本题分母求导会越变越乱，所以不首选
    • 易错点：
      • 不要一见 $\frac{0}{0}$ 就立刻洛必达；先用等价无穷小把简单部分消掉，常常一步到位
  • 第3步：化简分子 $\sin x - \tan x$ —— 提公因式 $\tan x$ 再套等价无穷小
    • 本题相关：
      • 分子是 $\sin x - \tan x$，需要确定当 $x \to 0$ 时它相当于几阶无穷小
    • 思路：
      • 直接用 $\sin x \sim x$、$\tan x \sim x$ 会得到 $x - x = 0$，没有意义——因为减号两边的主部完全相同、互相抵消了
      • 必须先变形再替换：把公共因子 $\tan x$ 提出，让减号两边"不一样"，才能看出真正的主部
    • 知识点（等价无穷小的定义与替换原则）：
      • 严谨定义：
        • 若 $\lim \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 为 $x \to x_0$ 时的等价无穷小，记 $\alpha \sim \beta$
        • 替换原则：等价无穷小只可在乘除因子中替换；在加减运算中不能随意整体替换（否则可能把主部抵消，得到错误结果）
      • 通俗讲解：
        • "等价"即"趋于 0 的速度完全相同"。乘除中替换等于换一个同速搭档，不影响比值；加减中直接换，可能把主部消掉
    • 知识点（常用等价无穷小公式，当 $x \to 0$ 时）：
      • 严谨定义：
        • $\sin x \sim x$；$\tan x \sim x$；$\arcsin x \sim x$；$\arctan x \sim x$；$\ln(1+x) \sim x$；$e^x - 1 \sim x$；$(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
        • $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，即 $\cos x - 1 \sim -\dfrac{x^2}{2}$
        • $\ln(1+x) - x \sim -\dfrac{x^2}{2}$
      • 通俗讲解：
        • 这是一张"翻译表"：把复杂函数在 0 附近翻译成简单幂 $x^n$。第一行的都是一阶（$x$ 阶），$1 - \cos x$ 是二阶（$x^2$ 阶）
    • 计算（化简分子的完整过程）：
      • 变形：$\sin x - \tan x = \tan x \cos x - \tan x = \tan x(\cos x - 1)$（因为 $\tan x \cos x = \sin x$）
      • 替换：$\tan x \sim x$；$\cos x - 1 \sim -\dfrac{x^2}{2}$
      • 相乘（乘积关系中替换合法）：$\sin x - \tan x \sim x \cdot \left(-\dfrac{x^2}{2}\right) = -\dfrac{x^3}{2}$
    • 结论：
      • 分子是 $x^3$ 阶无穷小，主部为 $-\dfrac{x^3}{2}$
    • 易错点：
      • 绝不能写 $\sin x - \tan x \sim x - x = 0$：加减法中两个等价无穷小相减，主部被抵消，必须先变形
      • $\cos x - 1$ 等价于 $-\dfrac{x^2}{2}$，负号不能丢；检验：$\tan x(\cos x - 1)$ 展开确实等于 $\sin x - \tan x$
  • 第4步：化简分母第一个因子 $e^x - 1$
    • 本题相关：
      • 分母为 $\left[\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}\right](e^x - 1)$，本步处理其中的因子 $e^x - 1$
    • 思路：
      • $e^x - 1$ 是最标准的形态，直接套公式 $e^x - 1 \sim x$
    • 知识点（$e^x - 1 \sim x$）：
      • 严谨定义：
        • 当 $x \to 0$ 时，$\lim \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$，故 $e^x - 1 \sim x$
      • 通俗讲解：
        • 指数函数 $e^x$ 在 0 附近"长得像"直线 $1 + x$，所以 $e^x - 1$ 像 $x$
    • 计算（替换的完整过程）：
      • $e^x - 1 \sim x$
    • 易错点：
      • 公式是 $e^x - 1 \sim x$，不是 $e^x - 1 \sim e^x$；只有"指数减 1"形态才成立
  • 第5步：化简分母第二个因子 $\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}$ —— 有理化
    • 本题相关：
      • 分母第二个因子是 $\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x}$，即"根号下 $1+\ln(1+x)$"减去"根号下 $1+x$"，两个根号都趋于 $\sqrt{1} = 1$
    • 思路：
      • 两个根号几乎相等（都接近 1），相减后主部抵消大半，看不清楚——对"$\sqrt{A} - \sqrt{B}$ 型"的万能方法是有理化：同乘 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$，用平方差公式把根号差变成普通分式
    • 知识点（有理化公式）：
      • 严谨定义：
        • $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$，故 $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \dfrac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$
      • 通俗讲解：
        • 根号差"藏在根号里"看不清楚；乘上符号相反的孪生兄弟（共轭式），根号被消掉，变为普通的 $A - B$ 除以普通式子
      • 生活类比：
        • 两个长得几乎一样的双胞胎站在一起难分辨，让他们"手拉手"（乘共轭），差异立刻显现
    • 知识点（$\ln(1+x)$ 的泰勒展开）：
      • 严谨定义：
        • 泰勒公式：若 $f$ 在 $x_0$ 附近有直到 $n$ 阶导数，则 $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o\left((x-x_0)^n\right)$
        • 对 $f(x) = \ln(1+x)$ 在 $x_0 = 0$ 处展开：$\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$，故 $\ln(1+x) - x = -\dfrac{x^2}{2} + o(x^2) \sim -\dfrac{x^2}{2}$
      • 通俗讲解：
        • 泰勒展开用多项式逐层逼近复杂函数。$\ln(1+x)$ 的"一阶部分"是 $x$，"二阶部分"是 $-\dfrac{x^2}{2}$；减去 $x$ 后一阶抵消，剩下二阶主部 $-\dfrac{x^2}{2}$
    • 计算（有理化的完整过程）：
      • 有理化：$\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x} = \dfrac{(1+\ln(1+x)) - (1+x)}{\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x}} = \dfrac{\ln(1+x) - x}{\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x}}$
      • 化分子：$\ln(1+x) - x \sim -\dfrac{x^2}{2}$
      • 化分母：$\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x} \to \sqrt{1+0} + \sqrt{1+0} = 1 + 1 = 2$
      • 组合：该因子 $\sim \dfrac{-\frac{x^2}{2}}{2} = -\dfrac{x^2}{4}$
    • 易错点：
      • 有理化后分子是 $\ln(1+x) - x$（一阶抵消、剩二阶），需要用到 $\ln(1+x)$ 展开的二阶项 $-\frac{x^2}{2}$，不能只取 $\ln(1+x) \sim x$
      • 分母 $\sqrt{1+\ln(1+x)} + \sqrt{1+x}$ 趋于 $2$（不是趋于 0！），相当于"除以 2"
      • 平方差中 $(1+\ln(1+x)) - (1+x) = \ln(1+x) - x$，两个 $1$ 抵消，别把 $\ln$ 弄丢
  • 第6步：合并求值——分子 $\sim -\frac{x^3}{2}$、分母 $\sim \left(-\frac{x^2}{4}\right) \cdot x = -\frac{x^3}{4}$，求原极限
    • 本题相关：
      • 已得：分子 $\sim -\dfrac{x^3}{2}$；分母因子 $e^x - 1 \sim x$、$\sqrt{1+\ln(1+x)} - \sqrt{1+x} \sim -\dfrac{x^2}{4}$
    • 思路：
      • 把所有等价形式代回原式：分母成为 $\left(-\frac{x^2}{4}\right) \cdot x$，与分子同为 $x^3$ 阶；约去 $x^3$ 后只剩常数比
    • 计算（求值的完整过程）：
      • 分母 $\sim \left(-\dfrac{x^2}{4}\right) \cdot x = -\dfrac{x^3}{4}$
      • 原极限 $= \lim_{x \to 0} \dfrac{-\frac{x^3}{2} + o(x^3)}{-\frac{x^3}{4} + o(x^3)} = \dfrac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2$
    • 结论：
      • 原极限的值为 $2$
    • 意义：
      • 这类"分子分母都是若干小块组合、且小块之间相互抵消"的极限题，通用套路是：先变形（提公因式、有理化、泰勒展开）→ 再整体换等价无穷小 → 比较阶数 → 约分求值
    • 易错点：
      • 分子分母同为负号，负负得正，结果为 $2$ 而非 $-2$
      • 分母两项相乘：$x^2 \cdot x = x^3$ 指数相加，别把阶数弄错；分子是 $x^3$ 阶、分母也是 $x^3$ 阶，才能直接约成常数
  • 全题知识地图：
    • 判断类型（$\frac{0}{0}$ 型）→ 分子化简（提公因式：$\sin x - \tan x = \tan x(\cos x - 1)$ → $\tan x \sim x$、$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$ → $-\frac{x^3}{2}$）→ 分母化简（$e^x - 1 \sim x$；$\sqrt{A} - \sqrt{B}$ 有理化 → $\ln(1+x) - x \sim -\frac{x^2}{2}$、分母趋于 $2$ → $-\frac{x^2}{4}$）→ 合并（同为 $x^3$ 阶，约分）→ 极限值是 $2$
  • 最终答案：
    • $2$

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